Комплексные числа и действия над ними

Лекция  10

Комплексные числа и действия над ними

Рассмотрим  уравнение

.

Среди действительных чисел решений данного  уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида 

, , .

Совокупность  всех чисел  называется множеством комплексных чисел. При этом число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как

,

а число  называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как

. 

Удобно  изображать комплексные числа  в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.

 

                                       
 

                                                                
 
 

                                                                                         

Операции  умножения и деления комплексных  чисел.

При умножении  комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):

Пример.

. 

При делении  следует использовать операцию умножения  на сопряженное выражение.

Пример.

Комплексному  числу можно приписать понятие  модуля и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.

      Модуль  числа равен .

      Аргументом числа называется полярный угол , (аргумент является многозначной функцией).  

      Тригонометрическая  форма записи комплексного числа:

, где  . 

Теперь  умножение комплексных чисел, записанных  в тригонометрической форме, выполняется по формуле

(то  есть при умножении комплексных  чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).

      Следствием  формулы умножения является следующая  формула.

      Формула возведения в степень (формула Муавра)

.

Пример.

, , ,

Формула извлечения корня 

-й степени

, .

Пример. Вычислить .

Запишем в тригонометрической форме:

.

Тогда получаем

при

при

при

Таким образом, всего имеется три комплексных  кубических корня из числа : , , . 

Формула Эйлера

.

Пример  использования.

Вычислить .

      Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции  через показательную функцию. Имеем:

откуда

 Û .

Следовательно,

,

откуда

.

Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.

,

Отсюда следует

Ответ: . 

Дифференциальные  уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. 

    Рассмотрим  уравнение

где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

 - произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

имеет вид 

,

если  , - два различных вещественных числа; имеет вид

,

если  и, наконец, решение имеет вид

,

если  , - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

      Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

     Сопоставим  функции  в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

если  , и в виде

если  или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1. 

Пример.  Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение

  Û 

Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

.

Поскольку корни характеристического уравнения  не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Получаем:

,

Подставляя  , , в исходное уравнение, получаем:

Сокращая  на и приводя подобные, получим

,

,

откуда

  Û 

Общее решение неоднородного уравнения  имеет, следовательно, вид

.

Теперь  найдем решение задачи Коши. Имеем:

,

Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

Умножая первое уравнение системы на 2 и  вычитая из него второе уравнение, получим:

  Û  .

Далее,

.

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

,

откуда 

,

где - мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть

.

Правая  часть исходного неоднородного  уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Подставляя  в исходное уравнение, с учетом того, что

,

получим:

откуда