Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2012 в 13:50, курсовая работа
Данная курсовая работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части рассмотрены следующие вопросы:
- квадратичные формы;
- приведение к каноническому виду (методом Лагранжа и методом Якоби).
В практической части решено 15 задач на темы:
- линейные пространства (7);
- Евклидово пространство (2);
- квадратичные формы (6).
1 Теоретическая часть_______________________________________________
2 Практическая часть________________________________________________
2.1 Линейные пространства_________________________________________
2.2 Евклидово пространство________________________________________
2.3 Квадратичные формы___________________________________________
Литература______________________________________________________
Решение:
е1,е2,е3 - ортогональный базис.
1. е1 = а1 = (-1,3,2)
2. е2 = а2 + α е1 и (е2,е1) = 0
(е1,е2) = (е1,а2) + α (е1,е1) = 0
(е1,а2) -3 - 3 + 4
α = - = - = 1/7
(е1,е1) 1 + 9 + 4
е2 = а2 + 1/7 е1= 1/7 -7+3 = 4/7 -1
Проверим: (е1,е2) = 4/7 (-5 - 3 + 8) = 0.
3. e3 = a3 + β e2 + γ e1 и (е3,е1) = 0
(e1,e3) = (e1,a3) + β (e1,e2) + γ (e1,e1) = 0
(е1,а3) -2 - 9 + 2
γ = - = - = 9/14
(е1,е1) 1 + 9 + 4
(e2,e3) = (e2,a3) + β (e2,e2) + γ (e1,e2) = 0
(е2,а3) -4/7 (10 + 3 + 4)
β = - = - = -17/24
(е2,е2) 16/49 (25 + 1 + 16)
е3 = а3 + 9/14 е1 - 17/24 e2 = -3 + 9/14 3 - 17/42 -1 =
84–27–85 1
=1/42 -126+81+17 = -2/3 1
42+54–68 -1
Проверим: (е1,е3)= -2/3 (-1 + 3 - 2) = 0; (e2,e3)= -8/21 (5 - 1 - 4) = 0.
Ответ: е1=(-1,3,2), е2= 4/7 (5,-1,4), e3= -2/3 (1,1,-1).
2.9 Задание 2: Найти ортогональный базис подпространства Ek, заданного системой уравнений и базисом Ek┴
x1+ 4x2 -26x3+x4+x5=0,
5x1 -12x2+22x3+x4- x5=0.
Решение:.
x1+ 4x2 -26x3+x4+x5=0, x1= -4x2 +26x3-x4-x5,
5x1 -12x2+22x3+x4- x5=0; -20x2+130x3-5x4-5x5-12x2+22x3+
x1+ 4x2 -26x3+x4+x5=0, x1= 1/4 (28x3-2x4- x5),
x2= 1/16 (76x3-2x4-3x5); x2= 1/16 (76x3-2x4-3x5)
- если x3=x4=0, x5=16, то x2=-3, x1=-4.
- если x3=x5=0, x4=8, то x2=-1, x1=-4. X² = (-4,-1,0,8,0)
- если x4=x5=0, x3=4, то x2=19, x1=28.
y1,y2,y3 - ортогональный базис.
1. y1 = X¹ = (-4,-3,0,0,16)
2. y2 = X² + α y1
(X¹,y1) 16 + 3
α = - = - = -19/281
(y1,y1) 16 + 9 + 256
y2= X² - 19/281 y1 = -1/281 281 - 57 = -8/281 28
Проверим: (y1,y2) = -8/281 (524 + 84 - 608) = 0.
y3 = X³ + β y2 + γ y1
(y2, X³) -8/281 (3668 + 532)
γ = - = -
(е2,е2) 64/(281)² (131² + 28² + 281² + 38²)
(y1, X³) -4·28 - 3·19
β = - = - = 169/281
(y1,y1) 16 + 9 + 256
y3 = X³ + 3/2 y2 + 169/281 y1 = X³ - 12/281 28 +169/281 -3 =
-1572 - 676 28 -8 5
= X³ + 1/281 -336 - 507 = 19 + -3 = 4 4
3372 0 12 3
-456 + 2704 0 8 2
Проверим: (y1,y3) = 4 (-20 – 12 + 32) = 0,
(y2,y3) = 4· (-8)·281 (655 + 112 – 843 + 76) = 0.
|y1|=√(16+9+256)=√281;
8
|y2|= ·√(17161+784+78961+1444)= ;
281
|y3|=4√(25+16+1+9+4)=4√55; q3 = = ·(5,4,1,3,2)
p = (p1,p2,p3,p4,p5)
(q1,p)=0, (-4p1 - 3p2 + 16p5),
(q2,p)=0, (131p1 + 28p2 – 281p4 + 38p5)=0,
(q3,p)=0; (5p1 + 4p2 + p3 + 3p4 + 2p5)=0
-4 -3 0 0 16 131, 5 -4 -3 0 0 16
131 28 0 -281 38 ·1/281 ~ 0 -1 0 –4 8 (-3), 1 ~
5 4 1 3 2
1 0 0 -3 2 p1= 3p4 - 2p5,
~ 0 1 0 4 -8 p2= -4p4 + 8p5,
0 0 1 2 24 p3= -2p4 - 24p5
- если p4=0, p5=1, то p1= -2, p2=8, p3=-24
- если p4=1, p5=0, то p1=3, p2= -4, p3= -2