Элементы теории вероятностей

    Рассмотрим  для примера одно из страхований  на дожитие. Пусть N шестнадцатилетний решил застраховать свою жизнь за 10 000 руб. на дожитие до 70 лет – это значит, что если N останется в живых к 70-ти годам, то получит страховку, если не доживёт, то внесённая N сумма отходит страховой организации. Вопрос: сколько N должен сегодня внести страховой организации, внося каждый год сумму на 5% большую, чем в предыдущий (оплата по сложным процентам), чтобы иметь право через 70-16=54 года получить случайную сумму 10000 руб.?

1. Пусть сегодня N должен внести x руб.
2. Эти деньги за 54 года по сложным процентам вырастут в сумму x∙1.05⁵⁴ руб. (по формуле сложных процентов).
3. Найдём частость доживания 16-летних до 70-ти лет. Читаем в особых таблицах смертности: 16-летних из 100 000 взятых остаётся к 70 годам 39324, следовательно, искомое частное равно 39324/100 000≈0,393, а так как по закону больших чисел частость как угодно мало отличается от вероятности, если первая найдена при большом числе испытаний , то Р ≈ 0,393. Итак, вероятность 16-летнему дожить до 70 лет ≈ 0,393.
4. Математическое ожидание страховой организации равно x∙1.05⁵⁴руб.∙1                              (1 – вероятность дожития N с точки зрения страховой организации, т.е. предполагается достоверное наступление страхового случая); математическое ожидание N равно 10000∙0,393.
5. Если не преследуется прибыль, то математические ожидания страховой организации и страхующегося N должны быть равны, т.е. x∙1.05⁵⁴=10 000∙0,393.

                                                           10 000∙0.393 

6.   Решив уравнение, найдём: x=-------------------- ≈ 281,6 руб., что можно рассчитать

                                                                  1.05⁵⁴                      

непосредственно, хотя это легче сделать логарифмированием: 

         6.1. log_1.05x = log_1.05(3930) – 54.

6.2. x = 1.05 ^{log1.05(3930) – 54}. 

6.3. x ≈ 281,6 руб. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        P. S.

        «Пять чувств, которыми природа одарила человека, недостаточны для того, чтобы вести научные предвиденья, без которых нельзя и невозможно целесообразно изменять природу; надо развивать математическое мышление, которое помогает вскрыть и понять то, что невидимо, неслышимо, необоняемо, неосязаемо, невкушаемо, но существует в реальности.

         Основной метод познания реальности есть математический метод, который и подарил XIX-ому, а в особенности XX-ому веку великую силу физико-математических разделов, под влиянием которой человек становится всё более могущим, потому что становится всё более знающим.»     

           Профессор математики Иван Козьмич Андронов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Используемая литература:

    И. К. Андронов, Математика для техникумов (курс единой математики), издательство «высшая школа», Москва, 1965 г., (824 c.).