Экстремум функции нескольких переменных

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «УдГУ»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

 

 

 

 

 

Курсовая работа:

«Экстремум функции нескольких переменных»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр. ОБ-010200-21

Лебедев Николай Михайлович

Научный руководитель: д.ф.-м.н.

Родина Л.И.

 

 

 

Ижевск 2014

Содержание

1. Введение           3
2. Необходимые условия экстремума       4
3. Достаточные условия экстремума                                                 5                   
4. Наибольшие и наименьшие значения                                                     7
5. Практическая часть                                                                               14
6. Заключение                                                                                            19
7. Приложение                         20
8. Литература                  22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Цель данной работы заключается в рассмотрении экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании методов их нахождения.

Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахождения экстремумов и их полном математическом обосновании.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимые условия экстремума

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:

Пусть функция   определена в области   и точка  будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если  .

Теорема (необходимое условие экстремума).  

Пусть функция   определена в   и имеет локальный экстремум в точке  . Если  ,

то  .

Доказательство.

Докажем это для случая  . Рассмотрим функцию   - функцию одной переменной  . Так как функция   имеет локальный экстремум в точке  , то функция одной переменной также имеет локальный экстремум в точке  .

Так как  , то эта производная является обычной производной функции одной переменной   в точке  . Тогда используя необходимое условие локального экстремума для функции одной переменной получаем  . Аналогично: Если   получаем  .

 

 

 

 

 

Достаточные условия экстремума

Теорема (достаточное условие экстремума).  

Пусть функция   определена в   и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Пусть  . Если   является знакоопределенной квадратичной формой, тогда   - точка локального экстремума, причем если   - локальный минимум, а если   - локальный максимум.

Доказательство. 

Рассмотрим  . Так как функция   имеет непрерывные частные производные до второго порядка в  , то функцию   можно разложить по формуле Тейлора в точке   до первого порядка

, где    .

Так как   - непрерывна в   непрерывна в точке  , где   - бесконечно малая функция при 

Обозначим 

 - бесконечно малая функция при  .

Пусть  , где  .

Получаем:   лежит на   - сфере единичного радиуса с центром в начале координат.   - компакт.   - непрерывна на компакте   она достигает на нём своей точной нижней грани:

 ;

Так как   - бесконечно малая при   для   в   точка локального минимума. Аналогично доказывается что если  , то   - точка локального максимума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наибольшие и наименьшие значения

Пусть функция   f(x, y)  определена в замкнутой области D , ограниченной линией L , которая задана уравнением   F(x, y) = 0 .

Наибольшее значение M функция может принимать в точках максимума (внутри области D ) и на границе L в точках условного максимума функции   f(x, y)  при   F(x, y) = 0 ,  а наименьшее значение m — соответственно в точках минимума (внутри области D ) и на границе L в точках условного минимума. Если вычислить значения функции   f(x, y)  во всех этих точках, то M и m обязательно окажутся среди вычисленных величин.

Алгоритм отыскания наибольшего значения M и наименьшего значения m

1. Находим все точки экстремума функции   f(x, y)  внутри области D .
2. Находим все точки условного экстремумы функции   f(x, y) при условии   F(x, y) = 0 .
3. Вычисляем значения функции f(x, y) во всех найденных точках и выбираем среди них наибольшее и наименьшее. Это и будут M и m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть

 

№3621.

 

Для начала находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю

 

Решаем полученную систему уравнений и находим точку подозрительную на экстремум

Воспользуемся достаточным условием экстремума и найдем дельта.

,,

= 4 > 0 – точка минимума, так как А>0

№3622.

 

Для начала находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю

 

Решаем полученную систему уравнений и находим точку подозрительную на экстремум

Воспользуемся достаточным условием экстремума и найдем дельта.

,,

=-4 < 0 не является точкой экстремума.

№3625.

 

Для начала находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю

 

Решаем полученную систему уравнений и находим точку подозрительную на экстремум 

Воспользуемся достаточным условием экстремума и найдем дельта.

,,

=11664>0 – точка максимума, так как А<0.

 №3626.

 

 

 

,,

=-9 < 0 не является точкой экстремума.

: ,,

= 27 > 0 – точка минимума, так как А>0.

№3627.

 

 

 

,,

= 0 на графике функции и сделаем вывод что она является точкой максимума.

Рассмотрим точку :

,,

= 27 > 0 – точка минимума, так как А>0.

Рассмотрим точку :

,,

= 27 > 0 – точка минимума, так как А>0.

№3631.

 

 

 рассмотрим график функции

№3632.

 

 

 

,,

= 60 > 0 – точка минимума, так как А>0.

Рассмотрим точку :

,,

=-60 < 0 не является точкой экстремума.

№3634.

 

 

 

,,

=>0 – точка максимума, так как А<0.

Рассмотрим точку :

>0 – точка максимума, так как А<0.

№3636.

 

 

(1)+(2):

теперь подставим этот в уравнение (1)

 

 

 или  получаем точку

,,

= > 0 – точка минимума, так как А>0.

№3638.

 

 

 

,,

=< 0 не является точкой экстремума.

№3640.

 

 

(2) – (1): ; x – y =

(2) + (1): ; x + y =

 

 

)

= = когда m и n четные это значит что точка не является экстремумом.

Если m и n нечетное число то. В этом случае рассмотрим A:

A = = 2 = 2()

Когда m нечетное n четное A < 0 при этом точка достигает максимума, а при m четном n нечетном A > точка достигает своего минимума.

№3642.

 

 

 

 

 точка минимума

№3644.

 

 

 

 

  = – точка минимума.

 №3646.

 

 

 

 

  
– точка минимума.

№3648.

 

 

,

=0 ()

 

 

< 0

№3650.

Задача Гюйгенса. Между двумя положительными числами a и b поставить n чисел так, чтобы величина дроби была наибольшей. Найти экстремальные значения заданной неявно функции

 

Введем новую функцию

, ,…,

A =

  =

 

Пусть m =

=

 получим уравнение

 ()

Тогда

 

= - = + = >0 функция в точке принимает наименьшее значение функция

 

 общий коэффициент

Это геометрическая прогрессия и ее максимальное значение

 

№3652.

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 – получим минимальное значение

 

 – получим максимальное значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Таким образом, видно, что при нахождении экстремумов функций многих переменных появляются много сложностей. Иногда приходилось пользоваться программой для построения графиков.

Хотя графический метод и не дает точной точки какого - либо экстремума,  но он очень важен, так  как  не  всегда  можно  решить  задачу математическим способом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

№3621.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№3627.

№3631.

 

Литература

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 1997г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том I. (стр.417-427).
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г. (стр. 402-426).