История возникновения логарифма

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Декабря 2009 в 12:07, Не определен

Описание работы

Логарифмирование и потенцирование

Скачать архив (73.13 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Файлы: 1 файл

Логарифмы.doc

— 292.50 Кб (Скачать файл)

ФГОУ СПО ХАКАССКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме:

История возникновения логарифма. Логарифмирование и потенцирование

Выполнил студент группы ТВТ-11

Романов Иван.

Проверил преподаватель:

Волкова Татьяна Валерьевна

Содержание

1 Вещественный логарифм

1.1 Свойства
1.2 Натуральные логарифмы
1.3 Десятичные логарифмы
1.4 Логарифмическая функция

1.4.1 Исследование логарифмической функции

2 Комплексный логарифм

2.1 Многозначная функция
2.2 Аналитическое продолжение
2.3 Риманова поверхность

3 Исторический очерк

3.1 Вещественный логарифм
3.2 Комплексный логарифм

4 Логарифмические таблицы

Логарифмы

Логарифм. Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов. Десятичный логарифм. Натуральный логарифм.

Логарифмом положительного числа N по основанию ( b > 0, b 1 ) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b, чтобы получить N .

Обозначение логарифма:

Эта запись равнозначна следующей: b^x = N .

П р и м е р ы : log 81 = 4 , так как 3⁴ = 81 ;

log 27 = – 3 , так как ( 1/3 ) ^-³ = 3³ = 27 .

1/3

Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

Основные свойства логарифмов.

1) log b = 1 , так как b ¹ = b .

2) log 1 = 0 , так как b ⁰ = 1 .

3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

log ( ab ) = log a + log b .

4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

log ( a / b ) = log a – log b .

5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

log ( b ^k) = k · log b .

Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Два последних свойства можно объединить в одно:

7) Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

В частном случае при N = a имеем:

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log₁₀ N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных

единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. log _e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) ⁿ при неограниченном возрастании n ( см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы" ). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Логарифм

Графики логарифмических функций

Логарифм числа b по основанию a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»^[1]) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Пример: , потому что .

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log_ab имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Десятичные: , основание: число 10.
Натуральные: , основание: e (число Эйлера).
Двоичные: или , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

Основное логарифмическое тождество:

Доказательство [показать]

(замена основания логарифма)

Доказательство [показать]

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При справедливо равенство

(1)

В частности,

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

Физика — интенсивность звука (децибелы).
Астрономия — шкала яркости звёзд.
Химия — активность водородных ионов (pH).
Сейсмология — шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
История — логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = log_ax, определённая при

Исследование логарифмической функции

Область определения:

Область значения:

График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0)

Производная логарифмической функции равна:

Доказательство ^[2][показать]

Функция являются строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 < a < 1

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

то логарифм находится по формуле:

Здесь — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Примеры (приведено главное значение логарифма):

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

Информация о работе История возникновения логарифма