История развития понятия “функция”

Чуть позже можно  познакомить учащихся с тем, что  функция может быть не только от одной переменной, но и от нескольких. Полезно будет рассказать о французском  математике Николе Ореме и его  работе “О конфигурации качества”, в  которой он высказал идею функциональной зависимости от одной, двух и трех переменных и ее графическом изображении.

В 9 классе еще раз  дается определение функции на основе идеи зависимости одной переменной от другой: “Функцией называют такую  зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y”. Можно дать учащимся задание проследить в истории математики, на каком этапе развития понятия функции появляется такое определение и кто его вводит. Кроме того, в этом классе вводится символическое обозначение функции. Учащимся необходимо рассказать, кто ввел эту запись.

В 10-11 классах вводится современное понятие функции  как соответствие между двумя  множествами: “числовой функцией с  областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от D”. Снова нужно проследить, когда появляется впервые такое определение, в чем его отличие от ранее существовавших.

Одному-двум учащимся можно предложить подготовить доклад на тему: “История развития понятия  функции”. Можно дать сравнение  уже известных им определений  функции с новым определением после того, как этот доклад будет  представлен в классе.

Нужно напомнить учащимся о том, что математика возникла из практических нужд человека, отсюда необходимо введение нового определения функции. Здесь нужно сказать о проблеме, с которой столкнулись физики, в частности, Поль Дирак; упомянуть его дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. Необходимо также сказать о работах, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явления.

Нужно также сказать  и о том, что на этом развитие понятия функции не остановилось (понятие обобщенной функции) и, скорее всего, будет изменяться дальше, приспосабливаясь к нуждам науки.

Приложение

Бернулли  Иоганн (1667-1748 гг.)

Швейцарский математик. Был сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений, продвинул разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашел характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение.

Больцано  Бернард (1781-1848 гг.)

Чешский математик, философ, теолог. Первым (1817) выдвинул идею арифметической теории действительного числа. В его сочинениях можно найти ряд фундаментальных понятий и теорем анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков. В “Парадоксах бесконечного” (изд.1851) Больцано явился предшественником Кантора в исследовании бесконечных множеств.

Даламбер  Жан Лерон (1717-1783 гг.)

Французский математик, механик философ. Основные математические исследования относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дал (1748) метод решения дифференциального  уравнения второго порядка с частными производными, выражающего малые колебания бесконечной однородной струны (волнового уравнения), в виде суммы двух произвольных функций. Ему принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений первого и второго порядков. В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости. В алгебре дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы о существовании корня у алгебраического уравнения. Много труда вложил в “Энциклопедию наук, искусств, ремесел”, для которой он написал всю физико-математическую часть.

Декарт  Рене (1596-1650 гг.)

Французский философ, математик, физик. Он является одним  из основоположников аналитической геометрии. В его главном математическом труде “Геометрия” (1637) впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат (декартовы координаты), введены общепринятые теперь значки для переменных величин (x,y,z,...) буквенных коэффициентов (a,b,c,...), степеней (x₃, a₅,...). Декарт положил начало ряду исследований свойств уравнений; сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней (правило Декарта); поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода); указал, что уравнение третьей степени разрешимо в квадратных радикалах и его корни находятся с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо.

Дирак Поль Адриен Морис 

(1902-1984 гг.)

Английский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. Основные труды в математике по функциональному  анализу и математической физике (уравнение Дирака, дельта-функция Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелевская премия (1933).

Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 гг.)

Немецкий математик. Основные труды по теории чисел и  математическому анализу. Впервые  точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда (так называемый признак Дирихле), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функций, имеющей конечное число максимумов и минимумов.

Лейбниц Готфрид Вильгельм

(1646-1716 гг.)

Немецкий математик, физик, философ, изобретатель, историк, языковед. В математике его важнейшей заслугой является разработка (наряду с Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. Дал определения дифференциала и интеграла, разработал правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного любой постоянной степени, дал определения экстремальных точек и точек перегиба, установил взаимно обратный характер основных операций анализа - дифференцирования и интегрирования. Заложил основы теории рядов и теории дифференциальных уравнений. Им предложены математические символы и термины, вошедшие во всеобщее применение - функция, дифференциал, дифференциальные уравнения, алгоритм, координаты, алгебраические и трансцендентные кривые, модель и др. Изобрел счетную машину и первый интегрирующий механизм, предвосхитил некоторые идеи матлогики, изложил начала теории определителей.

Лобачевский Николай Иванович (1792-1856 гг.)

Русский математик. Создатель (1826) неевклидовой геометрии. Дал (1834) метод  приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней; внес значительный вклад в теорию определителей. В области анализа Лейбниц получил новые результаты в теории тригонометрических рядов. Им же установлен один из наиболее удобных методов приближенного решения уравнений (метод Лобачевского).

Ньютон  Исаак (1643-1727 гг.)

Английский физик, математик, механик и астроном. Одновременно с Лейбницем, но независимо от него, разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Создавая математику непрерывных  процессов, Ньютон в основу понятия  флюксии (производной) и флюенты (интеграла). В работе “Анализ при помощи уравнений с бесконечным числом членов” (1669, опубл.1711) дан метод вычислений и вычислений функций - приближение бесконечными рядами, который имел впоследствии огромное значение для всего анализа и его приложений. В этом же труде изложен метод численного решения алгебраических (метод Ньютона). Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчисления содержится в трактате “Метод флюксий и бесконечных рядов” (1670-71, опубл.1736), в котором в механических и математических выражениях сформулированы обе взаимно обратные задачи анализа, применен метод флюксий, ко многим геометрическим задач, решены задачи интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений путем представления решения в виде бесконечного степенного ряда, дана формула (бином Ньютона) для любого действительного показателя.

Орем  Никола (ок.1323-1382 гг.)

Французский математик, физик и экономист. Доказал (ок.1350) расходимость гармонического ряда. В 1368 г. изложил учение о степени с дробными показателями. Написанный им “Трактат о сфере” сыграл значительную роль в разработке французской научной (астрономической и географической) терминологии.

Соболев Сергей Львович 

(род.  в 1908г.)

Советский математик. Основные труды по теории уравнений с частными производными, математической физике, функциональному анализу и вычислительной математике. Предложил новый метод решения гиперболических уравнений с частными производными, совместно со Смирновым В.И. разработал метод функционально-инвариантных решений для динамических колебаний слоистых сред. Им начато систематическое применения функционального анализа в теории уравнений с частными производными. Им же введен класс функциональных пространств и исследовано соотношение вложения для пространств. Ввел понятие обобщенного решения уравнения с частными производными и дал первое (1935) строгое определение обобщенной функции; с помощью этих понятий рассмотрел некоторые краевые задачи для уравнения с частными производными. В области вычислительной математики Соболев ввел понятие замыкаемых вычислительных алгоритмов, дал точную оценку норм погрешности кубатурных формул.

Ферма Пьер (1601-1665 гг.)

Французский математик. Получил важные результаты в теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятности. Автор ряда выдающихся работ. Ферма является одним из создателей теории чисел, с его именем связаны великая и малая теоремы Ферма. Вместе с Декартом является основоположником аналитической геометрии. В области метода бесконечно малых дал общее правило дифференцирования степенной функции, которое распространил на любые рациональные показатели.

Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830 гг.)

Французский математик. В труде “Аналитическая теория тепла” (1822г.) вывел дифференциальное уравнение  теплопроводности и разработал метод его интегрирования при различных граничных условиях. В основе его метода лежит представление функции тригонометрическими рядами (рядами Фурье). Привел первый пример разложения в тригонометрические ряды функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Развил предложенный Даламбером для решения волнового уравнения метод разделения (метод Фурье) переменных для изучения задач о колебаниях струны и теплопроводности стержня.

Эйлер Леонард (1707-1783 гг.)

Математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии. Более 30 лет работал в Петербургской АН. Список его трудов содержит около 850 названий, в их числе несколько многотомных монографий по всем основным разделам современной ему математике и ее приложениям. Заложил основы нескольких математических дисциплин. Первый систематически ввел в рассмотрение функции комплексного переменного, вывел (1743) формулы, связывающие тригонометрические функции с показательными. Эйлер создал, как самостоятельную дисциплину, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, и заложил основы теории уравнений с частными производными. Его имя носят подстановки Эйлера (1768) при замене переменных в специальных интегралах, Эйлеровы интегралы (1731), метод ломаных Эйлера (1768) в численном решении обыкновенного дифференциального уравнения, Эйлеровы углы (1748) в преобразовании координат, функция и теорема Эйлера (1763) в теории чисел, прямая Эйлера (1765) в треугольнике, теорема Эйлера для выпуклого многогранника (1758), Эйлерова характеристика многообразия, задача Эйлера о Кенигсбергских мостах (1736). Обозначения: f(x) - 1734; e, p - 1736; sin(x), cos(x) - 1748; tg(x) - 1753; D x, S - 1755; i - 1777.

Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983.
3. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. - Минск: “Народная освета”. - 1969.
4. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. - М.:Учпедгиз. - 1958.
5. Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов.энциклопедия. - 1988.
6. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.