Иррациональные уравнения

РЕФЕРАТ

По математике

 

 

Иррациональные уравнения

 

 

 

 

Выполнил

 студент

группы Т-132

Кирюшин Виталий.

 

Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня определенного степени. Простейшие иррациональные уравнения решаются или подъемом в степень или заменой. Рациональные уравнения - это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями, в левой части которого находится рациональное выражение, а в правой – нуль.

Как правило, все иррациональные уравнения решаются в три этапа:

• Во-первых, для начала необходимо уединить корень. Что это значит? То есть, если мы видим, что слева от знака равенства кроме корня есть еще и другие функции или числа, то в этом случае нам необходимо все это перенести вправо и поменять знак. Что же касается левой стороны, то здесь должен остаться лишь радикал и без всяких коэффициентов.

• Во-вторых, нам необходимо возвести в квадрат обе части этого уравнения. Но здесь не мешало бы быть внимательными и помнить, что к области значения корня относятся все неотрицательные числа. Из этого следует, что в иррациональном уравнении функция, которая расположена справа, также должна быть неотрицательной: g(x) ≥ 0.

• В-третьих, и это будет логично, необходимо выполнить проверку. А такая необходимость может возникнуть потому, что на втором этапе при решении уравнения у нас могли появиться лишние корни. А чтобы от этих корней избавиться, нам нужно полученные числа-кандидаты взять и подставить в исходное уравнение. Ну, а потом, естественно, нужно проверить, получилось ли на самом деле верное числовое равенство.

Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный”  относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными.

Поначалу математики Древнего мира практически отказывались воспринимать иррациональные числа, то со временем начали проявлять пристальное внимание к таким объектам математики.

В период бурного развития математических наук и астрономии математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, длительное время отвергали иррациональные числа, хотя практически не могли обходиться без иррациональных величин.

Начиная с тринадцатого века, длились эволюционные изменения знака радикала. Впервые название квадратному корню дали итальянские математики от латинского слова Radix, что в переводе обозначало корень, а его сокращенным вариантом была буква R.

Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только  рациональными числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом  surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.» 

Многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры.   Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в.  ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному  числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что  естественным аппаратом  для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби.  Появление  «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения  понятия рационального числа.  На числовой оси иррациональные числа,  как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

 

Задача: решить уравнение  
Метод решение: 
1) Найдем ограничения на переменную, решив систему неравенств

 
2) Сделаем такие преобразования, чтобы в каждой из частей  равенства стояло не более  одного корня.

 
Замечание: Здесь появляются еще ограничения для переменной, правая часть должна быть неотрицательна:

3) Возведем в квадрат  обе части уравнения, помним, что

и о том, что

 
Получаем уравнение:

 
4) Опять преобразуем так, чтобы  в одной из частей уравнения  осталось только слагаемое, содержащее  корень