Интерполяция

Интерполяция (матем.)

Интерполяция в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Например, отыскание значений функции f (x) в точках х, лежащих между точками (узлами И.) x₀ < x₁ < ... < x_n, по известным значениям y_i = f (x_i) (где i = 0, 1, ..., n). В случае, если х лежит вне интервала, заключённого между x₀ и x_n, аналогичная задача наывается задачей экстраполяции. При простейшей линейной И. значение f (x) в точке х, удовлетворяющей неравенствам x₀ < x < x₁, принимают равным значению

Интерполяцией называется замена таблично заданной функции на некотором интервале, другой функцией F(x), проходящей через эти же точки (узлы интерполяции). Таким образом, с помощью F(x) можно приближенно вычислить значения первой функции в других точках интервала. 
 

Постановка  задачи интерполяция.

Пусть известные  значения функции образуют следующую  таблицу:

При этом требуется  получить значение функции f в точке x, принадлежащей 

отрезку [x0..xn] но не совпадающей ни с одним значением xi.Часто при этом не известно аналитическое  выражение функции f(x), или оно  не пригодно для вычислений.

В этих случаях  используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в  точках x0, x1, x2,... xn. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x0,x1,x2,...xn - узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:

Pn(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an

Для каждого  набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени  не больше n. Однозначно определенный многочлен  может быть  представлен в различных видах.