Интегральный признак Коши

 

  Интегральный признак Коши 

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный  интеграл , и расходится, если .   

 Пример 1

Определить, сходится или  расходится ряд  .

Решение.

Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий  несобственный интеграл:      

 

Таким образом, данный ряд  расходится.

Идея о том, что любая  периодическая функция может  быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов  была предложена бароном Жан Батистом Жозефом Фурье (1768 − 1830).       Чтобы рассмотреть эту идею более детально, введем базовые определения.

Определение ряда Фурье 

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].

1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:

2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции (Смотрите об условиях сходимости также раздел Сходимость рядов Фурье).  
 
Если x₀ − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению

Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в  ряд Фурье. Заменяя a_n и b_n новыми переменными d_n и φ_n или d_n и θ_n , где

можно, соответственно, записать

Разложение в  ряд Фурье четных и нечетных функций 

Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются выражениями 

Аналогично, разложение в  ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид

где ы b_n равны