Возьмем , т.к. случай (т.е. ) не представляет интереса: обе части формулы (18) – нули.

Тогда

 

Обозначая написанное отношение через  и придем к (18).

    Если  _{в промежутке} непрерывна, тогда и есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) имеет вид

 

 Пусть  непрерывна, а функция _{имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива оценка интеграла Стилтьеса:}

 

где

    Доказательство:

 
 

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы  получить (21).

 Пусть в промежутке функция ограничена, монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула

 
 

и почленно вычитая  эти равенства, получим

 

Обозначим через  колебание функции в промежутке , тогда

  для  , то, применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами в отдельности, получаем:

 

    Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все – произвольное наперед заданное взятое число, тогда

 
 
10. Предельный переход  под знаком интеграла  Стилтьеса.

 Пусть  функции  непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

 

также непрерывной, а  - функция с ограниченным изменением. Тогда

 

Доказательство:

По заданному  найдется такое N, что при n>N будет для всех x

 

Тогда в силу (21), для n>N

 

т.к. - произвольное, то теорема доказана.

 

 Пусть  функция  непрерывна в промежутке , а функция - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

 

и при стремятся к предельной функции

 

то

 

Доказательство:

 Докажем,  что  имеет ограниченное изменение. Разложим промежуток произвольным образом на части точками

 

Тогда для  любого

 

Перейдем  к пределу при 

 

откуда и

 

    Составим  суммы Стилтьеса

 

Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то, в силу оценки (22), при всех

 

    С  другой стороны, если разбиение  фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое N, что для n>N будет

 

    Тогда  для тех же значений n в силу (23) и (24) получаем:

 

Т.к. - любое, то теорема доказана.

 
 
11. Сведение криволинейного  интеграла второго  типа к интегралу  Стилтьеса.

 

    Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

 

в направлении  от к , когда . Тогда точкам (), взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра :

 

а выбранной  на дуге точке – значение

(). Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде

 

Эта интегральная сумма представляет собою стилтьесову  сумму, так что криволинейный  интеграл второго типа по самому определению  отождествляется с частным случаем  интеграла Стилтьеса:

 

Аналогично  и

 

Отсюда следуют  общие условия существования  криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию  непрерывной, а функцию имеющей ограниченное изменение (п.3, ).

    В  частности, если кривая AB спрямляема, а функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны, то существует интеграл

 
 

 

 
 
12. Примеры.

№1 Вычислить по формуле

 
 

а)

 
 

б) (s)

=

в)(s)=

 
 

№2 Вычислить по формуле

 
 

а) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок -2, при х=2

в остальных  точках , т.к. g(x)=const

(S)

б) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=

                                  скачок -2, при х=

в остальных  точках , т.к. g(x)=const

(S)

 
 

№3 Вычислить по формуле При

 
 

а)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок 1, при х=

 
 
 
 
 

б)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок 1, при х=

 
 

+

 
 

в)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок 1, при х=

 
 

+

=

№4

а) Составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1;3]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке х=1 функция  терпит скачок =1 => Ф(х)=2х-1

В точке х=2 функция  терпит скачок =1 => Ф(х)=2х

В точке х=3 функция  терпит скачок =1 => Ф(х)=2*3+1=7

Итого:

Ф(х)=

б) Составить выражение Ф(х) для следующего распределения масс: массы величины 2 в точках х= 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [0;5]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке х=2 функция  терпит скачок =2 => Ф(х)=

В точке х=4 функция терпит скачок =2 => Ф(х)=

Итого:

Ф(х)=

в) Выяснить распределение масс, если Ф(х)

 

Решение.

При х=-1 и 0 функция  испытывает скачок =1 => массы величины 1 в точках х=-1 и 0, в промежутке [-2,-1] непрерывно распределенные массы с         плотностью 1, т.к. , в промежутке [0,2]  непрерывно распределенные массы с плотностью 2х, т.к.  

Список  литературы

1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального  исчисления. Том 3.Москва 1960
2. http://www.phismat.ru/dif.php