Геометрическое и гипергеометрическое распределение

Геометрическое  распределение.

Определение.

Дискретная  случайная величина Х=т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,..., т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где 0<p<1, q=1-p, m=1,2,... 

Ряд геометрического  распределения случайной величины имеет вид:

Нетрудно видеть, что вероятности р₁, образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (отсюда название «геометрическое распределение»).

Определение геометрического  распределения корректно, так как  сумма ряда 

     Случайная величина Х=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода. 

Теорема.

Математическое  ожидание случайной  величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром р,

а её дисперсия

где q=1-p.  

Гипергеометрическое распределение.

Определение.

Дискретная  случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения. l,2,3,...,min (n, М) с вероятностями

где, m=0, 1, 2,…, min (n, M), m≤N, n≤M; n, M, N – натуральные числа. 

     Гипергеометрическое распределение имеет случайная  величина Х=т - число объектов, обладающих заданным свойством, среди n объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N объектов, М из которых обладают этим свойством. Теорема.

Математическое  ожидание случайной  величины X, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N, есть

а её дисперсия