Геометрическая прогрессия

Геометрическая  прогрессия

    Геометрическая  прогрессия играет важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и  в дальнейшем обучении в высших учебных  заведениях. Важность этого сравнительно небольшого раздела школьного курса  заключается в его чрезвычайно  широких областях применения, в частности он применяется в теории рядов, рассматриваемой на II – III курсах университета. Поэтому представляется необходимым дать здесь полное описание геометрической прогрессии, чтобы внимательный читатель мог повторить уже известный ему из школьного курса материал или узнать что-то новое.

    Необходимо  дать определение геометрической прогрессии, так как не определившись о  предмете разговора, невозможно продолжать сам разговор. Итак: числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

    Внесем  некоторую ясность в данное выше определение: во-первых, мы требуем, чтобы первый член не был равен нулю для того, чтобы при умножении его на любое число мы в результате снова не получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения.

    Во-вторых, число, на которое умножаются члены  прогрессии, опять же не должно быть равно нулю по тем же причинам.

    В-третьих, предоставляем возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и то же число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться вначале.

    Из  определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b₂ : b₁ = b₃ : b₂ = ... = b_n : b_n-1 = b_n+1 : b_n = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

    Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q. Например, условиями b₁ = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

    Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего.

    Таким образом, если q > 0 (q 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁ = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, ... есть монотонно убывающая последовательность.

    Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

    Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это  свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е:

.

    Пользуясь этим свойством, можно находить любой  член геометрической прогрессии, если известны два, которые стоят радом.

    Для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии есть еще одна формула. Для  того чтобы найти любой член геометрической прогрессии, необходимо чтобы она  была задана, т. е. были известны значения b ₁ и q:

.

    Так как геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

    Если  в данную формулу подставить вместо b_n его выражение в виде b₁ q _n-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:

    У геометрической прогрессии есть еще  одно свойство, а именно: из определения  знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁ b_n = b₂ b_n-1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

    Наконец, нельзя не коснуться такого важного  с научной точки зрения понятия, как бесконечной геометрической прогрессии при  . Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы бесконечной геометрической прогрессии: пусть (x_n) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .

    Найти эту сумму можно по следующей  формуле:

    Заканчивая  описание геометрической прогрессии, хочется еще раз повторить, что  за видимой простотой геометрической прогрессии скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры.

Библиографический список

1. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, 1990 г.
2. Теляковский С. А. Алгебра, учебник для 8 класса средней школы. Москва, 1987 г.