При наличии связанных рангов ранговый коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле:

                                         (1.43)

где ; ;

  число групп неразличимых  рангов у переменных X и Y;

  число рангов, входящих  в группу неразличимых рангов переменных X и Y. 

     Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:

                                               (1.44),

где  K статистика Кендалла.

     Для определения K необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов (1, 2, ... , n) и определить соответствующие их ранги () по другой переменной. Статистика K равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке) . При полном совпадении двух ранжировок имеем K= 0 и τ= 1; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .

         Коэффициент конкордации (согласованности) рангов Кендалла W, определяемый по формуле:

                                               (1.45)

где n число объектов;

m  число анализируемых порядковых переменных;

                                         (1.46)

отклонение  суммы рангов объекта от средней  их суммы для всех объектов, равной m(n+1)/2.

     Значения  коэффициента W заключены на отрезке т.е. , причем W=1 при совпадении всех ранжировок.

     Корреляционный  анализ может быть использован и  при оценке взаимосвязи качественных (категоризованных) признаков (переменных), представленных в так называемой номинальной шкале, в которой возможно лишь различение объектов по возможным состояниям, градациям (например, пол, социальное положение, профессия и т.п.). Здесь в качестве соответствующих показателей могут быть использованы коэффициенты ассоциации, контингеници (сопряженности), бисериальной корреляции.

Глава 2 Регрессионный анализ

     2.1. Основные положения  регрессионного анализа. Парная регрессионная модель

     В регрессионном анализе рассматривается  односторонняя зависимость случайной зависимой переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной Х, называемой часто объясняющей переменной. Такая зависимость может возникнуть, например, в случае, когда при каждом фиксированном значении X соответствующие значения Y подвержены случайному разбросу за счет действия неконтролируемых факторов. Указанная зависимость Y от X (иногда ее называют регрессионной) может быть представлена также в виде модельного уравнения регрессии (1.1). В силу воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения y будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии . В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлено в виде: , где — случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии. Эту переменную будем называть возмущающей или просто возмущением. Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная Y есть некоторая функция (Х) с точностью до случайного возмущения .

     Рассмотрим  линейный регрессионный анализ, для  которого  функция (Х) линейная относительно оцениваемых параметров:

     .      (2.1)

     Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (2.1) взята выборка, содержащая n пар значений переменных (), где i=1,2,...,. В этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид:

                                         (2.2)

     Отметим основные предпосылки регрессионного анализа:

     1. В модели (2.2) возмущение  (или зависимая переменная ) есть величина случайная, а объясняющая переменная — величина неслучайная.

     2. Математическое ожидание возмущения  равно нулю:

(или  математическое ожидание зависимой  переменной  равно линейной функции регрессии:

     M()=       (2.3)

     3. Дисперсия возмущения  (или зависимой переменной )  постоянна для любого i:

                                                     (2.4)

     (или  D() = — условие гомоскедастичности или равноизменчивости возмущения (зависимой переменной)).

     4. Возмущения   (или переменные и) не коррелированы.

         (i      (2.5)

     5. Возмущение , (или зависимая переменная ) есть нормально распределенная случайная величина.

     Для получения уравнения регрессии  достаточно первых  четырех предпосылок. Требование выполнения пятой  предпосылки (т.е. рассмотрение «нормальной регрессии») необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

     Оценкой модели (2.2) по выборке является уравнение регрессии:

(1.8). Параметры этого  уравнения  и определяются на основе метода наименьших квадратов.

     Теорема Гауса-Маркова. Если регрессионная модель удовлетворяет предпосылкам 1-4, то оценки и имеют наименьшую дисперсию в классе линейных несмещенных оценок, т.е. являются эффективными оценками параметров и .

     Воздействие неучтенных случайных факторов и  ошибок  наблюдений в модели (2.2) определяется с помощью дисперсии  возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии  . Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия

                                   (2.6)

где — групповая средняя, найденная по уравнению регрессии;

  — выборочная  оценка возмущения  , или остаток регрессии.

     В знаменателе выражения (2.6) стоит  число степеней  свободы n—2, а не n, так как две степени свободы теряются при определении двух параметров прямой и .

     2.2. Интервальная оценка  функции регрессии

     Построим  доверительный интервал для функции  регрессии, т.е. для условного математического  ожидания , который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) =1— накрывает неизвестное значение

     Найдем  дисперсию групповой средней  , представляющей выборочную оценку С этой целью уравнение регрессии (1.15) представим в виде:

                                         (2.7)

     На  рис. 2.1 линия регрессии (2.7) изображена графически. Для произвольного наблюдаемого значения , выделены его составляющие: средняя , приращение , образующие расчетное значение , и возмущение ,.

      Дисперсия групповой средней равна  сумме дисперсий двух независимых  слагаемых выражения  (2.7) :

                                   (2.8)

Дисперсия выборочной средней 

        =       (2.9)

Для нахождения дисперсии представим коэффициент регрессии в виде:

                                   (2.10)

тогда

                             (2.11)

     Найдем  оценку дисперсии групповых средних (2.8),  учитывая (2.9) и (2.11) и заменяя  ее оценкой :

                                   (2.12)

     Исходя  из того, что статистика t =   имеет -распределение Стьюдента с k=n—2 степенями свободы, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания

           (2.13)

где   — стандартная ошибка групповой средней .

     Из  формул (2,12) и (2,13) видно, что величина доверительного интервала зависит от  значения объясняющей переменной х: при х = она минимальна, а по мере удаления х от величина доверительного интервала увеличивается (рис. 2.2). Таким образом, прогноз значений  (определение неизвестных значений)  зависимой переменной у по  уравнению регрессии оправдан, если значение объясняющей  переменной не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем тем более точный, чем ближе х к ). Другими словами, экстраполяция кривой регрессии, т.е. ее использование вне пределов  обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если она оправдана для рассматриваемой переменной исходя из смысла решаемой задачи) может привести к значительным  погрешностям.

     Построенная доверительная область для  (см. рис. 2.2) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных  возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений  зависимой переменной  необходимо учитывать еще один источник вариации — рассеяние вокруг линии регрессии, т.е. в оценку суммарной дисперсии следует включить величину . В результате оценка дисперсии индивидуальных значений  при х =   равна:

                                   (2.14)

а соответствующий  доверительный интервал для прогнозов  индивидуальных значений   будет определяться по формуле:

                       (2.15)

     2.3. Проверка значимости  уравнения регрессии.  Интервальная оценка  параметров парной модели

     Проверить значимость уравнения регрессии  — значит  установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных  (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

     Проверка  значимости уравнения регрессии  производится на основе дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ  применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

     Согласно  основной идее дисперсионного анализа 

                       (2.16)

или

     ,      (2.17)

     Где Q — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, a и — соответственно сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

     Убедимся  в том, что пропущенное в (2.17) третье слагаемое

       равно нулю. Учитывая (2.7) и первое уравнение  системы (1.11), имеем: 

     .

     Теперь 
 

     Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в табл. 2.1 
 
 
 
 

     Таблица 2.1

     Средние квадраты и (табл. 2.1) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимой переменной,  обусловленной соответственно регрессией или объясняющей(ими) переменной(ыми) X и воздействием неучтенных случайных факторов и ошибок; m— число оцениваемых параметров уравнения регрессии; n — число наблюдений.

     Замечание. При расчете общей суммы квадратов полезно иметь в виду, что