Функции нескольких переменных в экономических задачах

                    П =0      

                 

             x=6-2•1,2=3,6           (3,6; 1,2) – стационарная точка обл. Д и  х=6-2у 

• х=0  (ось ОУ)    П=-4y 

    П =-4 ≠ 0          стационарных точек нет 

• у=0  (ось ОХ)    П=-2х

   П =-2 ≠ 0          стационарных точек нет

                              

                                                     ↓

       Найдена одна стационарная точка (3,6;1,2), которая  показывает сочетания величин  х  и у (используемых ресурсов), при которых фирма получит наибольшую прибыль. При этом фирма потратит всю выделенную на это сумму – 12. 

       Ответ: x=3,6,   y=1,2.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 3.

       Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 ден. ед. на приобретение х единиц первого товара и у единиц второго товара. Заданы функция полезности U(x, у) и цены p₁, р₂ за единицу соответственно первого и второго товаров. Найти значения (х, у), при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

       

       p₁=0,2,      p₂=4. 
 

Решение.

       Рассмотрим  линии уровня функции полезности U(x,у)=С, т.е.    (С=const). Используя свойства логарифмов, имеем:

        ,   т.е.           ,          где   

       Таким образом, линии уровня представляют собой график функции

            (кривая безразличия)

       Легко видеть, что максимальное значение A, а следовательно, и уровня С достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат)   0,2х+ 4у =1000. Так как градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом:

       gradU(x,y) (0,2x+4y=1000)

       Так как у= . Угловой коэффициент прямой, проходящей через gradU   равен   .

         Из условия перпендикулярности прямых имеем      т.е.

        =20,        x-5y=-3

       Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

    т.е.         

       Ответ: x=997,6;    Y=200,12 - значения, при которых полезность для потребителя будет наибольшей. 
 
 

Задача 4.

       Прибыль П автомобильного завода от производства одного автомобиля определяется формулой  , где x – затраты на материалы, млн. руб., (х>0), у – затраты на оплату рабочей силы, млн. руб., (у>0), 2 млн. руб. – постоянные затраты.

       Значения  х и у, при которых прибыль завода максимальна, а суммарные затраты на один автомобиль не превышают 27 млн. руб. равны…  
 

Решение.

       Известно, что  .  Так как П(х,y)=D(x,y)-C(x,y) С=х+у+2, но при этом С≤27 млн. руб. Следует максимизировать функцию , но при условии, что х+у+2≤ 27.

       Итак, имеем задачу максимизации функции, т.е. надо найти глобальный экстремум  для  П(х,y) в области, ограниченной прямой  x+y≤25 , осью ОХ и ОУ (так как х>0, y>0). Построим этот график:

а)  Найдем стационарные точки внутри области Д.  Для этого найдем  π_х’ и  π_y’ и приравняем к 0:

π_х’=0,25y-1

π_y’ =0,25x-1

π_х’=0;    π_y’=0      

                     (4;4) – стационарная точка

П(4;4)=0,25•4•4-4-4-2=-6 

б) Найдем стационарные точки на границах:

• у=25-х    П=  

                             П =0      

                 

         (12,5;12,5) – стационарная точка обл. Д и  у=25-х

        П(12,5;12,5)=0,25•12,5•12,5-12,5-12,5-2=12,0625      

• х=0  (ось ОУ)    П=-у-2

         П =-1 ≠ 0          стационарных точек нет 

• у=0  (ось ОХ)    П=-х-2 

       П =-1 ≠ 0          стационарных точек нет     

    П(4;4)<П(12,5;12,5)   

    П(4;4)=-6 – минимальное значение функции

   П(12,5;12,5)=12 -  максимальное значение функции, при котором прибыль фирмы будет максимальна, и затраты на 1 автомобиль будут составлять27 млн. руб. 

       Ответ: x=12,5,  y=12,5  
 
 

Задача 5.

       Издержки  предприятия на изготовление единицы  некоторого вида продукции определяются формулой    ;  где х – затраты капитала, тыс. руб., (х>0), у – расходы на оплату рабочей силы,  тыс. руб., (у>0). При каких значениях х и у издержки производства будут минимальными, если затраты х+у на единицу продукции составляют 3 тыс. руб.? 
 

Решение.

       Известно, что  .  Имеем задачу минимизации функции при х+у=3  или y=3-x,     

       Исследуем функцию на монотонность:

       z       x=0  и  x=2 
 
 
 

          y=3-2=1 

       Ответ: х=2;  у=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

Литература

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 471 с.
2. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 423 с.