Доказательства теоремы Пифагора

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА  ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА 

Доказательства, основанные на использовании  понятия равновеликости фигур.

 При этом  можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный  на гипотенузе данного прямоугольного  треугольника «складывается» из  таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c² = a² + b². Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а

сопровождали  чертеж лишь одним словом: «смотри!»  Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.  

Аддитивные  доказательства.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

Доказательство  Энштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Самостоятельно  докажите попарное равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

На рис. 4 приведено  доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF.

Докажите теорему  с помощью этого разбиения.

 

·        На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов  на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).

·        Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

·        Это разложение квадратов интересно  тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга  параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств  теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.  

Доказательства  методом построения.

Сущность этого  метода состоит в том, что к  квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

 

·        На рис. 7 изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному  прямоугольному треугольнику.

Справедливость  теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CÎEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два  равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два  равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

·        На рис. 8 Пифагорова фигура достроена  до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

·        Рис. 9 иллюстрирует доказательство, приведенное  Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL – прямая;

KLOA = ACPF = ACED = a²;

LGBO = CBMP = CBNQ = b²;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;  

отсюда  c² = a² + b².

Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.

Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим  

Алгебраический  метод доказательства. 

·        Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого  автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.  

·        Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

На рис. 13 ABC –  прямоугольный, C – прямой угол, CM^AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная  к гипотенузе.

Из того, что DABC подобен DACM следует

b² = cb₁; (1)

из того, что DABC подобен DBCM следует

a² = ca₁. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a² + b² = cb₁ + ca₁ = c(b₁ + a₁) = c².

Если Пифагор  действительно предложил такое  доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

Доказательство  Мёльманна (рис. 14).

Площадь данного  прямоугольного треугольника, с одной  стороны, равна  с другой , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности Имеем:

откуда следует, что c2=a2+b2. 

Доказательство  Гарфилда.

На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь  этой фигуры можно находить по формуле  площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

во втором 

Приравнивая эти  выражения, получаем теорему Пифагора.

Существует много  доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных  методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.

Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически  пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого  угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 24) связаны соотношением

c² = a² + b². (3)

Докажем, что  этот треугольник прямоугольный.

Построим прямоугольный  треугольник A1B1C1 по двум катетам, длины  которых равны длинам a и b катетов  данного треугольника (рис. 25).

Пусть длина  гипотенузы построенного треугольника равна c1. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:  c₁² = a² + b². (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что

c₁2 = c², или c₁ = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный  – равны, так как имеют по три  соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой. 

Доказательства  методом разложения 

Существует целый  ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные  на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата ,построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы. 

Доказательство  Эпштейна

Начнем с доказательства Эпштейна(рис. 1) ; его преимуществом  является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

Разложение на треугольники можно сделать и  более наглядным, чем на рисунке. 

Доказательство  Нильсена.

На рисунке  вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена. 

Доказательство  Бетхера .

На рисунке  дано весьма наглядное разложение Бетхера. 

Доказательство  Перигаля.

В учебниках  нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.  

Доказательство  Гутхейля.

Изображенное  на рисунке разложение принадлежит  Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника. 

Доказательство 9 века н.э. 

Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.

На рисунке  квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.