Дифференциальные уравнения

Дифференциальные  уравнения в частных производных.

Обыкновенное  дифференциальное уравнение – это  некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным. 
 

В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа 

где, согласно одной  из возможных интерпретаций, u – температура в плоской области, точки которой задаются координатами x и y; уравнение теплопроводности 

где t – время, x – расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток; и волновое уравнение 

где t – снова время, x и y – координаты точки колеблющейся струны. 

Решая дифференциальные уравнения в частных производных, обычно не стремятся найти общее  решение, поскольку оно скорее всего окажется слишком общим, чтобы быть полезным. Если решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется заданием условий в одной или нескольких точках; то решение дифференциального уравнения в частных производных обычно определяется заданием условий на одной или нескольких кривых. Например, решение уравнения Лапласа может быть найдено в точке (x, y) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.