Дифференциал уравнение n-го порядка

     В С++ нет типов данных высокого уровня и нет первичных операций высокого уровня. В нем нет, например, матричного типа с операцией обращения или  типа строка с операцией конкатенации. Если пользователю понадобятся подобные типы, их можно определить в самом  языке. По сути дела, основное, чем занимается программирование на С++ - это определение универсальных и специально-прикладных типов. Хорошо разработанный тип, определяемый пользователем, отличается от встроенного типа только способом определения, но не способом использования.

     Реализация  С++ очень легко переносима. Однако есть полные основания использовать С++ в среде, где имеется гораздо  более существенная поддержка. Такие  средства, как динамическая загрузка, пошаговая трансляция и база данных определений типов могут с пользой применяться  без  воздействия на язык.

     Типы  и средства сокрытия данных в С++ опираются на проводимый во время  компиляции анализ программ с целью  предотвращения случайного искажения  данных. Они не обеспечивают секретности  или защиты от умышленного нарушения правил. Однако эти средства можно использовать без ограничений, что не приводит к дополнительным расходам времени на  выполнение или пространства памяти. 

Компилятор  Microsoft C++ и среда разработки Microsoft Visual Studio 

     В качестве компилятора для разработки приложения был выбран Microsoft C++ по следующим причинам:

• практически полная совместимость со стандартом ANSI C++;
• наличие удобной среды разработки Microsoft Visual Studio;
• наличие отличной документации;
• высокая скорость работы результирующих приложений;
• совместимость разработанных приложений с большим количеством широко распространенных операционных систем;
• достаточная скорость компиляции.

4.3 Описание программы

     Разработанное приложение поставляется в виде 2-ух файлов:

1. method Eulera.cpp – исходный код программы на языке C++;
2. method Eulera.exe – исполняемый файл.

     Для выполнения исполняемого файла необходима одна из ниже перечисленных операционных систем:

• Microsoft Windows 3.11+Win32s;
• Microsoft Windows 95/98/Me;
• Microsoft Windows NT/2000/XP/2003 – клиентская или серверная версия.

   Программа не требует предварительной  установки и может быть сразу  же запущена на выполнение.

     Исходный  код приложения может быть откомпилирован в любом ANSI или POSIX совместимом компиляторе С++ для получения выполнимой программы. Для успешной компиляции требуется наличие стандартной библиотеки «iostream». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Контрольный пример

Данный метод  протестирован на контрольном примере  и реализован с помощью языка  программирования С++.

В результате вычислений контрольного примера вида y’=2x+y с интервалом [0,1],

количеством шагов  равному 5 и начальным условием у равным 1, с помощью программы, получились следующие результаты:

 Рис. 2. Экран с результатами выполнения программы.

Как видно,  при вычислении программа на первом шаге берёт начальные значения для вычисления, а на последующих   берёт значения полученные с предыдущих шагов. Можно сделать вывод, что точность вычисления данного метода зависит от количества выбранных шагов: чем больше шагов, тем меньше фиксированное приращение , а следовательно она более точно вычисляет значение всего интервала.

По работе программы стало видно, что с  её использованием намного упростилась  работа пользователя. Пользователь  просто вводит интервал на котором должен вычисляться пример, количество шагов и начальное значения и программа выдаёт уже готовое решение данного примера. 

6.Анализ полученных результатов.

По результатам  программы можно составить таблицу  сравнения результатов полученных при использовании программы и результатов, полученных ручным способом:

 

Из приведенного сравнения можно сделать вывод, что один результат отличается от другого тем, что в примере, решенном программным способом ответ вычисляется с наибольшей точностью, чем при ручном способе. Это может быть связано с тем, что в ручном способе результат округляется для удобства вычисления примера.

Решение дифференциальных уравнений методом  Эйлера можно также отобразить в  графическом виде:

                   Рис.3.Графическое изображение решения  примера y’=2x+y

Как видно из рис.3 графиком решения уравнения является кривая , форма которой зависит от количества разбиений интервала.

   По результатам выполненной работы  можно сделать вывод, что решение  дифференциальных уравнений методом  Эйлера является методом вычисления  со средней точностью и точность  вычисления данного метода зависит от количества разбиений интервала интегрирования. При сравнении результатов решенными разными способами можно сказать, что данный метод был верно реализован на языке программирования Microsoft Visual C++. Полученные результаты сходятся с небольшой погрешностью.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  литературы.

1. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975г.
2. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов . Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.
3. В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер, 1997г.
4. Б. П. Демидович, И. А. Марон Основы вычислительной математике. – М., 1966
5.   Загускин В. Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.
6. Либерти, Джесс.

Освой самостоятельно С++ за 21 день, 4-е издание.:Пер  с англ.-М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.-832с.

7. П.Нортон, П.Иао «Программирование на С++ в среде Windows» («Диалектика» Киев 2003г.)
8. Янг М. Microsoft Visual C++  - М.:ЭНТРОП, 2000.
9. Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде    

     Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.

10. Высшая  математика: Справ. материалы: Книга для учащихся .- М.:     

       Просвещение, 1988.-416 с.: ил. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение.

 Листинг программы.

#include<iostream>

using namespace std;

void func(double& Xi, double& Yi,double kx, double ky, double h);

int main() 

{

      double h,Xi,Yi,Xkon,kx,ky;

      int n;

      cout<<"\t"<<"\t"<<"************************************************n";

      cout<<"\t"<<"\t"<<"*                                                       * "<<"\n";

      cout<<"\t"<<"\t"<<"*      Reshenie difurov 1 poryadka methodom Eulera      *"<<"\n";             

      cout<<"\t"<<"\t"<<"*************************************************

      cout<<endl;

      cout<<"Vvedite nachaloe znachenie intervala [a,b]=";

      cin>>Xi;

      cout<<"Vvedite konechoe znachenie intervala [a,b]=";

      cin>>Xkon;

      cout<<"Vvedite chislo shagov=";

      cin>>n;

      h=(Xkon- Xi)/n;

      cout<<endl;

      cout<<"Vvedite nachalnoe uslovie y=";

      cin>>Yi;

      cout<<"Vvedite koefitsient pri x=";

      cin>>kx;

      cout<<"Vvedite koefitsient pri y=";

      cin>>ky;

      cout<<"|Interval|Chislo shagov|Shag prirasheniya|Nacalnoe Y|Uravnenie vida:| "<<"\n";

      cout<<"|--------|-------------|-----------------|----------|---------------|"<<"\n";

      cout<<"|"<<"["<<Xi<<","<<Xkon<<"]"  <<"   |"<<n<<"            |"<<h<<"              |"<<Yi<<"         |"<<"y'="<<kx<<"x"<<"+"<<ky<<"y"<<"      |"<<"\n";

            cout<<endl;

      cout<<endl; 

      for (int i=1;i<=n;i++)

      { 

            func(Xi,Yi,kx,ky,h);

            cout<<"\n";

      } 

      return 0;

}

void func(double& Xi, double& Yi, double kx, double ky, double h)

{

      double f1,Yprom,a,Xprom; 

      f1=(kx*Xi)+(ky*Yi);

      Yprom=Yi+f1*(h/2);

      Xprom=Xi+h/2;

      a=kx*Xprom-Yprom;

      Yi=Yi+a*h;

    cout<<"\t"<<"\t"<<"Interval x="<<Xi<<"\t"<<" Resultat y="<<Yi;

    Xi=Xi+h;

}