Действия с приближенными величинами

     СОДЕРЖАНИЕ

     стр

 

ВВЕДЕНИЕ

      

     Математическое  моделирование в математике является важной задачей современной науки и техники. Численные методы в математике – это методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. Проектирование и отработка современных летательных аппаратов, их отдельных узлов и блоков, а также других технических систем связаны с теоретическими расчетами и исследованиями, предваряющими выбор определяющих параметров конструкций. Эти расчеты проводятся с использованием вычислительных средств (компьютеров и их систем) и вычислительных методов.

     При этом обычно выполняются следующие этапы.

     1. Физическая постановка задачи. Результатом этого этапа является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т.е. что дано и что требуется определить.

     2. Поиск, выбор или модификация  некоторой математической модели, адекватной физической постановке задачи. На этом этапе осуществляются: — выделение (запись) основных математических уравнений, соотношений, аппроксимационных формул, описывающих задачу;

     — выделение (запись) дополнительных математических уравнений, связей, граничных или краевых условий;

     — предварительное (априорное) обоснование  математической модели.

     3. Разработка, выбор или модификация математического (аналитического, приближенно-аналитического или численного) метода, наиболее целесообразного и экономичного. Этот этап осуществляется на основе имеющихся у исследователей знаний (субъективный подход).

     4. Составление алгоритма.

     Классическим  средством изучения математических моделей и исследований на их основе свойств реальных объектов являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен. Поэтому решение широкого класса задач при отработке современных технических систем, как правило, осуществляется численными методами.

     Численные методы — это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется также численным анализом, или вычислительной математикой.

     Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения, которые определяются не в континуальных. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами. В силу приближенного характера вычислений этот процесс в свою очередь связан с некоторыми основными требованиями или понятиями, относящимися к конкретным задачам и численным методам (схемам), — устойчивостью, зависящей от хорошей обусловленности задачи; сходимостью, высокой точностью, экономичностью, и параметрами методов — шагами дискретизации или разбиения исходной области, в которой решается задача, количеством итераций, соотношениями шагов для неравномерного разбиения и др.

     Целью курса «Численные методы» является ознакомление студентов с математическими основами численных методов решения задач (решение уравнений, систем уравнений, дифференциальных уравнений, интегрирования и дифференцирования) и применение этих численных методов для решения проблем математического моделирования в математике.

     Числовые  методы сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин. 
 

1.1. Действия с приближенными  величинами 

     Измерить  или вычислить какую-либо величину абсолютно точно не всегда возможно. Поэтому в вычислительной практике преимущественно имеют дело не с точными значениями величин, а с их приближенными значениями.

     Под приближенным значением величины понимают значение, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее последнее в вычислениях. При решении практических задач приходится не только приближенно находить значения величин, входящих в данную формулу и производить над ними указанные в формуле действия, но и оценивать возможные погрешности, допущенные как при определении числовых значений отдельных величин, так и при подсчете окончательного результата.

     Погрешностью  Δa приближенного значения величины называется разность между точным значением А величины и ее приближенным значением α, т.е. αα−Α=Δ (1)

     Абсолютной  погрешностью Δ приближенного числа a называется абсолютная величина разности между точным числом А и приближенным числом a, т.е. aa−Α=Δ=Δ. (2)

     Если  точное число А неизвестно, то абсолютную погрешность по формуле (2) определить нельзя. В таких случаях абсолютную погрешность оценивают сверху, т. е. находят возможно меньшее при данных условиях число Δ_α, такое, что aaΔ≤−Α=Δ (3)

     Число Δ_a, называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а.

     Абсолютная  погрешность не полностью характеризует  точность измерения. Поэтому на практике степень точности измерения оценивают с помощью относительной погрешности δ, которая определяется как отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине точного значения искомой величины, т.е. AΔ=δ (4)

     Число δ_α , заведомо не меньшее относительной погрешности называют предельной относительной погрешностью, т.е. aAδδ≤=Δ (5)

     Т.к. на практике A≈ α, то приближенно  можно принять , что aaaδ=Δ (6).  

1.2. Основные численные  методы

1.2.1. Решение алгебраических  и трансцендентных  уравнений 

     Пусть задана непрерывная функция f(х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения

     f(x)=0.     (1)

     Эта задача распадается на несколько  задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью.

     Первая  и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами. Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни чётной кратности^* сложно. По таблице можно построить график функции у=f(х) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих задачах техники такая точность уже достаточна. В технике еще популярны графические методы решения уравнений (номография). Построение графика позволяет выявить даже корни чётной кратности.

     Иногда  удается заменить уравнение (1) эквивалентным ему уравнением j(х)=y(х), в котором функции y₁=j(х) и y₂=y(х) имеют несложные графики. Например, уравнение хsinх—1=0 удобно преобразовать к виду sinx=l/x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.

     Приближенные  значения корней уточняют различными итерационными методами.

1.2.2. Интерполяция функций 

     Итак, как было сказано выше, задачей интерполяции является поиск такого многочлена, график которого проходит через заданные точки.

     Пусть функция y=f(x) задана с помощью таблицы (табл. 1). 

     Таблица 1

 

       

     Необходимо  получить многочлен P_n(x) такой, чтобы выполнялось условие:

     P_n(x_i)=y_i.   

     Для этого зададимся конкретным видом  многочлена. Пусть P_n(x) имеет следующий вид:

     P_n(x_i)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ. 

     Для того, чтобы определить коэффициенты a₀, a₁,… необходимо решить систему из n уравнений с n неизвестными:

         

     Полином с коэффициентами, полученными путём  решения системы называют интерполяционным полиномом Лагранжа и обозначают L_n(x). Решение системы весьма трудоёмко, поэтому интерполяционный полином Лагранжа представляют в виде линейной комбинации многочленов степени n:

     

      .  

     Необходимо, чтобы каждый многочлен l_i(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением i-го, в котором он равен 1 (Рис. 12). Если l_i(x) удовлетворяет таким условиям, то в i-ом узле интерполяции многочлен L_n(x) примет значение y_i, что удовлетворяет условию поставленной задачи. Таким условиям удовлетворяет многочлен вида: 
 
 
 
 
 
 

1.2.3. Метод приближенных  квадратов и его  применение

     

     В задачу аппроксимации входит нахождение такой функции y=f(x), что расстояния между заданными точками y_i и значениями f(x_i) были минимальными (Рис. 13). Обозначим отклонение:

     ε_i=y_i-f(x_i)

     В качестве оценки общего отклонения кривой f(x) от табличных данных (Табл. 1) можно было бы взять сумму отклонений ε_i, но отклонения могут быть разными по знаку и, не смотря на большие ε_i их сумма может быть близка к нулю. Очевидно, что необходимо брать сумму абсолютных значений отклонений, но на практике неудобно пользоваться этой функцией, поэтому в качестве критерия оценки отклонения кривой берут сумму квадратов отклонений:

     

.

     Для определения функции f(x) необходимо, во-первых, задать её общий вид, например, f(x)=ax+b, во-вторых, подставив f(x) в и минимизировав σ, найти коэффициенты (a и b). Такой метод определения коэффициентов для функции f(x) называется методом наименьших квадратов. Наиболее часто встречающиеся виды функции f(x) для метода наименьших квадратов приведены в таблице 2. Формула y=f(x) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x. 

     Таблица 2

 

     Рассмотрим  подробнее метод наименьших квадратов  на примере линейной регрессии, т.е. общий вид функции такой: f(x)=ax+b. Требуется найти методом наименьших квадратов коэффициенты a и b. Для определения минимального σ необходимо приравнять нулю частные производные этой функции по параметрам a и b. Для случая линейной регрессии формула приводится к следующему виду: