Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем

  Тогда интегралы  в формулах (31), (32) вычисляются с  локальной погрешностью , и глобальная погрешность будет равняться , что и подтверждается вычислительными экспериментами. 

  Также для  сравнения были проведены расчеты  уравнений (31), (32) с помощью формулы  трапеций.

  Отметим, что коэффициенты системы (30) получаются в итоге постоянными величинами. 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Исследования  свойств схемы 

  Для исследования устойчивости метода прогонки и монотонности схемы используем принцип максимума, т.е. если в системе уравнений (30) , , и , то в матрице системы уравнений (30) присутствует диагональное преобладание, матрица является монотонной и выполняется оценка [6].

   Рассмотрим коэффициенты системы уравнений (30): 
 
 
 
 

  Отсюда  следует, что схема является монотонной и метод прогонки устойчив. 

  Устойчивость  по времени нетрудно показать с помощью  спектрального признака устойчивости [5].

  Перепишем уравнение (9) в следующей форме: 
 

и решение (33) будем  искать в виде: Тогда подставляя это выражение в (33) получим следующее уравнение: 

и следовательно, 

 Очевидно, что  
 

  Отсюда  следует, что схема абсолютно  устойчива. 

  Для исследования порядка аппроксимации системы (5), (6) схемой (7), (8) разложим точное решение  системы по формуле Тейлора в  окрестности точки , предполагая наличие непрерывных вторых производных: 
 

  Подставляя  эти значения в (7), (8) и, используя, свойства и системы (5), (6) получим невязку: 

  Таким образом, учтя погрешность при вычислении коэффициентов (31), (32) , система (5), (6) имеет  аппроксимацию .    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Вычислительный  эксперимент 

  Рассматривалась система трубопроводов, состоящая  из 3 отрезков и 4 узлов. Длины всех отрезков одинаковы и равны 1, диаметры каналов  одинаковы. Расчеты производились приведенным выше методом. Результаты расчетов сравнивались с точным решением системы (5), (6): 
 
 
 

где выбиралась: 

1. .

Начальные условия:.

Граничные условия: при  

                            при         

2. .

Начальные условия: .

Граничные условия: при   

                            при     

3. .

Начальные условия:.

Граничные условия: при   

                            при     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Таблицы погрешностей 

  Расчеты на момент времени . 

1. Для первого  случая:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Для второго  случая:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Для третьего случая:

 
 
 
 

  Замечание 

1. Погрешность по вычислялась путем, взятия разности, между общей погрешностью и погрешности по времени. Погрешностью по времени мы считаем общую погрешность при минимальном .
2. С уменьшением шага наблюдается увеличение погрешности по , это связано с зависимостью показателя диагонального преобладания от шага .

    
 
 
 

  Выводы 

• В данной работе для решения начально-краевой задачи  гиперболической системы дифференциальных уравнений была реализована схема с 4м порядком точности по пространственной переменной и 1м порядком по времени.

 
 

• Проведены исследования монотонности и устойчивости разностной схемы для линейной гиперболической  системы второго порядка.

 
 

• Проведен  сравнительный анализ численного и  точного решения системы, подтверждающий теоретические выводы об устойчивости и точности схемы.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

1. Воеводин  А.Ф., Шугрин С.М. «Методы решения  одномерных эволюционных систем». Новосибирск: Наука, 1993.
2. Воеводин А.Ф., Пономарев М.Ю. «Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем».
3. Годунов С.К. «Численное решение многомерных задач газовой динамики». Москва: Наука, 1976.
4. Меренков А.П. «Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо, нефте-, газоснабжения». Новосибирск: Наука, 1992.
5. Самарский А.А., Попов Ю.П. «Разностные схемы газовой динамики». Москва: Наука, 1975.
6. Воеводин А.Ф. «Метод факторизации для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений ». // Сиб. жур. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние.- Новосибирск, 2009.-Т. 12, №1.-с.1-15.  
7. Волков Е.А. «Численные методы». Москва: Наука, 1987.