Численный анализ

Численный анализ

Решение линейных разностных уравнений. Расчетное задание.

 

Дифференциальное уравнение:

и разностное уравнение:

преобразовать к векторно-матричной форме и решить матричным способом. Нужные матрицы построить по формуле Лагранжа-Сильвестра.

 

Решаем дифференциальное уравнение:

Сделаем замену переменной:

   

   

Получим систему:

В векторно-матричной форме:

Запишем характеристическое уравнение:

,    где  ,    а E – единичная матрица;

Получаем:

Решаем в векторно-матричной  форме:

,    где  ,    а z₀ – начальные условия;

Находим матричную экспоненту, используя формулу Лагранжа-Сильвестра:

Тогда:

 

Отсюда:

 

Вычисляем интеграл:

 

Получаем:

 

 

 

 

 

Решаем разностное уравнение:

Введем замену переменной:

Корни характеристического уравнения  :

Матрично-векторная форма уравнения:

Решение уравнения:

,

где:

По формуле Лагранжа-Сильвестра:

 

По формуле Абеля:

или:  

найдем  и :

 

 

Отсюда:

 

Тогда:

 

Получаем: