Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

Для удобства преобразуем систему к виду: 

 

Условие сходимости: 

,

 

Принимаем приближение на 0-ом шаге: 

,

,  

На 1-м  шаге выполняем следующее:

Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса:  

:

 

На 2-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса  

:  

На 3-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса  

:  

На 4-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса  

:  

На 5-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:  

:  

На 6-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса:  

:  

Необходимая точность достигнута на 6-й итерации. Таким образом, итерационный процесс  можно прекратить [14]. 

      2.3 Метод Зейделя

      2.3.1 Описание метода

В этом методе результаты, полученные на k-том шаге, используются на этом же шаге. На (k+1) - й итерации компоненты приближения вычисляются по формулам: 

………………………………………….

 

     Этот  метод применим к система уравнений в виде Ax=B при условии, что диагональный элемент матрицы коэффициентов A по модулю должен быть больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки (столбца).

     Если  данное условие выполнено, необходимо проследить, чтобы система была приведена к виду, удовлетворяющему решению методом простой итерации и выполнялось необходимое условие сходимости метода итераций: 

, либо 

      2.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя

 

Решить  СЛАУ методом Зейделя с точностью . 

 

Эту систему  можно записать в виде: 

 

     В этой системе сразу видно, что  выполняется условие, где диагональные элементы матрицы коэффициентов  по модулю больше, чем сумма модулей  остальных элементов соответствующей строки.

     Для удобства преобразуем систему к  виду: 

 

Условие сходимости: 

,

 

Принимаем приближение на 0-ом шаге: 

 

На 1-м  шаге выполняем следующее:

Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса  

:

 

На 2-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса 

:

 

На 3-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса:  

:

 

На 4-м  шаге выполняем следующее: 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки  итерационного процесса  

:

 

Необходимая точность достигнута на 4-й итерации. Таким образом, итерационный процесс  можно прекратить [9]. 

      2.4 Сравнительный анализ

 

     Можно заметить, что в методе Зейделя  быстрее мы достигаемой нужной точности, в нашем случае в точность была достигнута на 4-й итерации, когда  в методе простых итераций она  была достигнута на 6-й итерации. Но в то же время в методе Зейделя ставится больше условий. Поэтому вначале нужно произвести иногда довольно трудоемкие преобразования. В таблице 4.1 приведены результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации: 

Таблица 4.1 - Результаты решения СЛАУ

 

 

      Заключение

      Огромное  количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию  старых, выявление лучших. Анализ влияния ошибок показал, что между лучшими методами нет принципиальной разницы с точки зрения устойчивости к ошибкам округления. Создание мощных компьютеров существенно ослабило значение различия между методами (в таких характеристиках, как объём требуемой памяти, количество арифметических операций). В этих условия наиболее предпочтительными становятся те методы, которые не очень отличаются от лучших по скорости и удобству реализации на компьютерах, позволяют решать широкий класс задач как хорошо, так и плохо обусловленных и давать при этом оценку точности вычислительного решения.

      В MathCAD и Excel численные методы представляют собой те же самые общепринятые ручные расчёты, но выполняемые не человеком, а компьютером, что понижает возможность ошибки до нуля. Программа на Visual Basic намного упрощает задачу. С помощью единожды созданной программы можно решать системы линейных уравнений, вводя минимум значений. Также эта программа может быть использована не только вами, но и простыми пользователями.

     В ходе выполнения дипломной работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, метод Эйлера.

     В результаты все поставленные задачи были выполнены, цели достигнуты. Мы приобрели  навыки в применении различных численных  методов на практике. А также были исследованы различные методы.

     Теперь  перед нами стоит задача в применении приобретенных знаний в своей  будущей профессиональной деятельности.

 

     Список  литературы:

1. Амосов  А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.  Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 2004. 544 с. 

2. Калиткин  Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 2003. 512 с. 

3. Райс  Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 2004. 264 с. 

4. Демидович  Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 2000. 664 с. 

5. Воробьева  Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по  численным методам. М.: Высш. шк., 2009. 184 с.