Численное решение задачи Заремба

Введение

       Под краевыми задачами понимают задачи, в  которых требуется найти функцию  или систему функций, удовлетворяющих  в заданной области некоторому дифференциальному  уравнению или системе дифференциальных уравнений, а на границе области - заданным условиям. Такие краевые задачи, когда задана область, в которой отыскивается функция, удовлетворяющая внутри области заданному дифференциальному уравнению и заданным условиям на границе области, позднее стали называть прямыми краевыми задачами. Эти задачи проникли в математику в конце XVIII века (Л. Эйлер, П. Лаплас), однако теория их продолжает развиваться. В данной работе рассмотрена одна из краевых задач, сформулированная польским математеком С. Зарембой.

 

       1 Задача Заремба

       1.1 Постановка задачи

       Общая постановка задачи Заремба определена следующим образом: определить функцию и, удовлетворяющую уравнению Лапласа в некоторой области D, если на одной части (S) границы этой области заданы значения самой функции, а на остальной части (S') границы заданы значения её производной по нормали, т.е.:

       

   (1)

       

  (2)

       

 (3)

       1.2 Сущность аналитического  решения

       Возможно  сведение поставленной задачи к интегральному уравнению первого рода, ядром которого будет функция Грина, однако это не приведёт к какому-либо результату. Т.к. в общем случае невозможно решить как полученное уравнение, так и выяснить будет ли  оно разрешимым (Пикар установил критерий разрешимости такого уравнения, но в данном случае неизвестно, применим ли этот критерий).

       Суть  аналитического решиния задачи состоит в предварительном решении некоторой смешанной задачи, очень близкой к поставленной выше: определить ньютонов потенциал v простого слоя, несомого данной поверхностью, зная плотность этого простого слоя на одной части поверхности и зная, что на остальной части поверхности этот потенциал равен нулю. 
 

       После решения указанной задачи решение основной задачи легко сведётся к уравнению Фредгольма второго рода, исследование которого выполняется значительно легче, однако все равно представляет собой нетривиальную и не всегда разрешимую задачу.

 

        2. Частный случай задачи. Численное решение

       2.1 Описание частного  случая задачи  Заремба

       Рассмотрим  задачу Заремба для случая, когда область D ограничена двумя вложенными окружностями. Не умаляя общности, предположим, что центр внутренней окружности совпадает с началом координат. Тогда обозначим внешнюю окружность как S, а внутреннюю как S'.

       

Рисунок 1 – Общий вид области D

       2.2 Разностное решения задачи

       Построим  численное решение задачи Заремба  в поставленных условиях.

Рассмотрим  вышеописанную задачу в полярных координатах  :

       Уравнение Лапласа в полярных координатах:

       

   (1')

       Краевые условия:

       

    (2')

       

 (3')

       Рассмотрим  сетку на области D с шагом по и по . Запишем разностную схему на данной сетки. Назовем узел регулярным, если все соседние с ним узлы (в пределах одного шага по или по ) лежат внутри области D. Нерегулярными назовем узлы, для которых не выполняется определенное выше условие, т.е. такие, для которых найдется хотя бы один соседний узел, который не попадает в область D. Также рассмотрим множество граничных «узлов», т.е. точек пересечения границы области D сеткой.

       

Рисунок 2 – пример сетки

 

        Аппроксимация оператора Лапласа  для регулярных узлов:

       

,

       

,

       

       Для нерегулярных узлов запишем аналогичные уравнения на неравномерной сетке, с учетом известных значений функции и производной.

       Пример:

       

Рисунок 3 – пример нерегулярного шаблона

       Предположим, что  , а , тогда:

       

       

       Тогда, согласно (1'):

       

       В регулярных узлах:

       

       

 

       

  (4)

       

       

 (5)

       

       

       Подбные соображения справедливы и для

       

.

       Выше  указанные суждения можно применить  и для нерегулярных узлов, учтя следующий факт:

       

 

Заключение

        В работе рассмотрена  задача Заремба – смешанная краевая  задача для уравнения Лапласа и изучен метод ее аналитического решения.

        Описан частный  случай задачи, и для данного случая составлена разностная схема, позволяющая  найти решение указанной задачи.

 

Приложение  А

  (справочное)

Библиографический список

1. Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа. УМН, вып. 1:3-4(13-14) , 1946 г., стр. 125–146
2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.—М.: Наука, 1989.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.