Численное дифференцирование

                        ЧИСЛЕННОЕ  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ . 

      Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в  некоторой точке.

          Если задан явный вид функции,  то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

      Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена 

      

      Рассмотрим  простейшие формулы численного дифференцирования,  которые получаются указанным способом.

      Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

        
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

  

       Пусть функция задана в двух точках и   ее значения 

           Посстроим  интерполяционный  многочлен первой степени

 

      

      Производная    равна

      

      Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

              (1) 

Величина   называется  первой разностной производной.

   Пусть задана в трех точках    

      Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

      

В точке она равна

Получаем приближенную формулу

              (2)

Величина    называется   центральной  разностной производной.

      Наконец, если взять вторую производную

     получаем приближенную формулу. 

             (3)

Величина  называется  второй разностной производной.

      Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

      Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул  (1)-(3).

      В дальнейшем нам понадобится следующая  лемма.

       Лемма 1. Пусть    произвольные точки,    Тогда существует такая точка   что

      

      Доказательство.  Очевидно неравенство

        

      По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка  что выполняет указанное в лемме равенство.

      Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

          Лемма 2.

      1.Предположим, что   Тогда существует такая точка ,  что

                                    (4)

2. Если    то существует  такая точка ,  что

                                 (5)

3. Когда     то существует  такая,  что

      (6)               Доказательство. По формуле Тейлора

         

откуда следует  (4).

Если   то по  формуле Тейлора

                              (7)

где   

     Подставим (7)  в     Получаем

       

Заменяя  в соответствии с леммою 1

       

получаем

     

Откуда и следует (6).

        Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

       Формулы (4)-(6) называются формулами  численного дифференцирования с остаточными членами.

        Погрешности формул  (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):

       

         Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет  второй порядок относительно    (или порядка  ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок  точности.

      Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

      Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству                                                                                                                                                                            

                                                                                             (8)

        Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны  и удовлетворяют неравенствам

                                                (9)

где     - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин            

      Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям  :                                           

 

                                            (12)

при этом

                              (13)

      Если при выбранном  для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок   не выходит за пределы окрестности  точки   , в которой выполняется соответствующее неравенство (9),  то найденное  есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).