Четырехугольники

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 

Опр. : Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершины), не лежащие на одной прямой, и четырех последовательно соединяющих их непересекающихся отрезков (стороны). 

 Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники. 

Виды четырехугольников:

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;

Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны. 

Свойства  четырехугольников:

Сумма углов  четырёхугольника равна 360°;

В параллелограмме  противоположные стороны равны  и противоположные углы равны;

Диагонали параллелограмма  точкой пересечения делятся пополам;

Диагонали прямоугольника равны;

Диагонали ромба  и квадрата взаимно перпендикулярны  и делят его углы пополам, но диагонали  квадрата равны;

Все углы квадрата равны 90°. 

Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны;

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами  параллелограмма;

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180. 

Новые свойства

Две противоположные  стороны четырёхугольника перпендикулярны  тогда и только тогда, когда сумма  квадратов двух других противоположных  сторон равна сумме квадратов  диагоналей.

Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Средние линии  четырёхугольника равны тогда и  только тогда, когда равны суммы  квадратов его противоположных  сторон.  

История

В древности  египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d. 

Теорема

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями d1, d2 и углом α между ними (или их продолжениями), равна: S= ½·d1·d2·sinα

Док-во: Пусть ABCD - данный четырёхугольник. Пусть также O - точка пересечения диагоналей. Тогда 
SABCD = SABO + SBCO +SCDO + SDAO = 
= ½(AO·BO·sinРAOB + BO·CO·sinРBOC +  
+ CO·DO·sinРCOD + DO·AO·sinРAOD) =  
= ½·sinРBOC·(AO + CO)·(BO + DO) =  
= ½·sinРBOC·AC·BD. . 
ч.т.д.   

Теорема Вариньона 

Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма  равна половине площади исходного  четырёхугольника. 

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник, а K, L, M и N - середины его сторон. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно AC. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, а NK параллельно BD. Следовательно, KL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN –параллелограмм. Площадь этого параллелограмма - KL·KN·sinРNKL = ¼·AC·BD·sinРDOC = ½SABCD. 
ч.т.д.  

Квадратура  круга — задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.  

Неразрешимость

Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Приближённое  решение:

В данную окружность вписывается квадрат. К утроенному диаметру окружности прибавляется пятая  часть стороны этого квадрата. Длина получившегося отрезка  отличается от длины окружности меньше, чем на 1 / 17000.

Метафора  «Квадратура круга»

Математическое  доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам  тратить годы на решение этой проблемы. Появилась даже метафора «Квадратура  круга», которая обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие, аналогичное «вечному двигателю». 

Квадрирование квадрата

Задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов. В более узком смысле — задача о разбиении квадрата на конечное число попарно неравных между собой квадратов.

Долгое время считалось, что эта чрезвычайно трудная математическая задача неразрешима. В 1936—1938 годах её решили четыре студента Тринити-колледжа Кембриджского университета 

Это интересно

Ключевую роль в решении задачи квадрирования  сыграло изобретение диаграммы, названной диаграммой Смита, которая любому разбиению квадрата (или прямоугольника) ставит в соответствие эквивалентную электрическую цепь.  

Немного истории

Квадрат, разбитый на попарно неравные квадраты, называется совершенным.

Порядком квадрата, разбитого на составные квадраты, называется число составляющих его квадратов. Самые первые найденные совершенные квадраты были 69-го порядка. В 1939 году найден совершенный квадрат 55-го порядка, это был первый опубликованный совершенный квадрат. Наконец, в 1978 году голландский математик А. Й. В. Дуйвестэйн с помощью компьютера нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных. Он доказал, что не существует совершенного квадрата меньшего порядка, а также показал, что найденное им разбиение — единственно возможное для 21-го порядка. 

Задача1

Длины трёх сторон четырёхугольника равны 25, 13 и 32. Найдите  длину четвёртой стороны (натуральное  число), при которой периметр четырёхугольника максимален.

Решение

Что бы данные три  стороны и четвертая сторона не были наложены друг на друга т.е. имели форму четырехугольника нужно что бы четвертая сторона не была длиннее 70.

Значит сама сторона равна 69.

Ответ: 69 

Задача2

На картинке изображен куб, у которого отрезки BD и GD выделены черным цветом для наглядности и соединяется в общей точке D. Вам же нужно определить угол между этими диагоналями

Решение

Линии BD, DG и GB есть ничто иное как равносторонний треугольник, а как известно в равностороннем треугольники все стороны равны, как и углы т.е. каждый угол составляет 60 градусов.

Значит, угол между BD и DG равен 60 градусам.

Ответ: 60 градусов. 

Задача3

В параллелограмм можно вписать окружность. Найдите  её радиус, если известно, что радиус окружности, описанной около него равен  квадратному корню из двух.

Решение

Если в параллелограмм можно вписать окружность и описать  окружность около него и центры окружностей  совпадут значит этот параллелограмм – квадрат.

Радиус вписанной  окружности квадрата равен t/2, Радиус описанной  окружности квадрата равен квадратному корню из двух деленному на 2 и умноженному на t, тогда радиус вписанной окружности равен 1.

Ответ: 1