Биография Пифагора

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у  вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Геометрия у  индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском  переводе евклидовых "Начал", сделанном  Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее  время известно, что эта теорема  не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал  ее полноценное доказательство, а  другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают  Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Карикатуры

Доказательство  теоремы Пифагора учащиеся средних  веков считали очень трудным  и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Теорема Пифагора-одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b².

Наверх 
 

Доказательство  №1 (простейшее)

Квадрат, построенный  на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его  катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного  прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику  равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство  №2

Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат  Q со стороной а+Ь (рис. б).На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, Dтак, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DAотсекали от квадрата Qпрямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b = 90°. Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b)²; S(P)=c² и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a + b)² = c² + 4*½a*b. Поскольку (a+b)²=a²+b²+2*a*b, то равенство (a+b)²=c ²+4*½a*b можно записать так: a²+b²+2*a*b=c² +2*a*b.

Из равенства  a²+b²+2*a*b=c²+2*a*b следует, что с²=а²+Ь². 
ч.т.д.

Доказательство  №3

Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

По определению  косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB, получим: АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

Доказательство  №4

Площадь прямоугольного треугольника:S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника); 
p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности. 
r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности. 
½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); 
a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); 
a + b=x; 
a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x²-c²)  
a*b = ½(a² + 2*a*b + b² - c²) 
a² + b² - c² = 0, значит 
a² + b² = c²

Доказательство  №5

Дано:ΔАВС - прямоугольный треугольникAJ - высота, опущенная на гипотенузуBCED - квадрат на гипотенузеABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах. 
 
Доказать:Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора). 
 
Доказательство:1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD).Но! S_ΔABC=½S_BJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S_ΔFBS=½S_ABFH (BF-общее основание, AB - общая высота). Отсюда, учитывая, что S_ΔABD= S_ΔFBS, имеем: S_BJLD=S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что S_JCEL=S_ACKG. Итак, S_ABFH+S_ACKJ=S_BJLD + S_BCED.  
 
 
 

В настоящее  время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений  математики. Важным условием повышения  эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного  и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких  задач, в которых при решении  применяется теорема Пифагора.

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто  встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.

По теореме  Пифагора имеем: 
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) 
или  
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,  
откуда  
b*p/2=b/4-b*p.  
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:  
(3/2)*p=b/4, p=b/6.

Крыша

В доме задумано построить двускатную крышу (форма  в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.  
Решение:  
Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 мЕсли предположить, что FD=1,5 м, тогда:  
А) Из треугольника DBC: DB=2,5м  
 
Б) Из треугольника ABF:  
 

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. 
Решение:  
По теореме Пифагора h² ≥ a²+b², значит h ≥ (a²+b²)^½.  
Ответ: h ≥ (a²+b²)^½

Астрономия

На этом рисунке показаны точки  A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это  ведь произведение затраченного времени  на скорость!

Теперь попробуем  взглянуть на то же самое явление  из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего  луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.