Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Ноября 2010 в 15:10, Не определен
Курсовая работа
СОДЕРЖНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений
§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений
§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями
§1.4 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения
§1.5 Дзета – функция Римана и простые числа
ГЛАВА II БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ.
§2.1 Бесконечные произведения вещественных или комплексных функций
§2.2 Применение к функции Римана.
§2.3 Разложение функции в бесконечное произведение
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования:
Представленная
работа посвящена теме «Бесконечные
произведения».
Проблема данного исследования носит
актуальный характер в современных условиях.
Об этом свидетельствует частое изучение
поднятых вопросов.
Тема «Бесконечные произведения» изучается
на стыке сразу нескольких взаимосвязанных
дисциплин. Для современного состояния
науки характерен переход к глобальному
рассмотрению проблем тематики «Бесконечные
произведения». Вопросам исследования
посвящено множество работ. В основном
материал, изложенный в учебной литературе,
носит общий характер, а в многочисленных
монографиях по данной тематике рассмотрены
более узкие вопросы проблемы «Бесконечные
произведения». Однако, требуется учет
современных условий при исследовании
проблематики обозначенной темы. Высокая
значимость и недостаточная практическая
разработанность проблемы определяют
несомненную новизну данного исследования.
Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме
«Бесконечные произведения» необходимо
в целях более глубокого и обоснованного
разрешения частных актуальных проблем
тематики данного исследования.
Актуальность
настоящей работы обусловлена, с
одной стороны, большим интересом
к теме «Бесконечные произведения»
в современной науке, с другой
стороны, ее недостаточной
Теоретическое значение изучения данной
проблемы заключается в том, что избранная
для рассмотрения проблематика находится
на стыке сразу нескольких научных дисциплин.
Объект исследования: числовые ряды.
Предмет исследования: бесконечные произведения.
Цель курсовой работы: изучение темы «Бесконечные произведения» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.
Основные задачи исследования:
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ литературы, синтез, обобщение, решение задач по теме.
Практическая значимость проведенного исследования состоит в том, что в ходе работы была выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений, определены и доказаны основные свойства бесконечных произведений, подобран теоретический и практический материал по теме, решены задачи.
На
защиту выносится:
основные результаты и положения данного
исследования, подборка задач по теме
исследования,
ГЛАВА I БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений
Аналитическое выражение, имеющее вид произведения бесконечного множества сомножителей, называется бесконечным произведением. Дадим более детальное и строгое определение этого понятия.
Определение 1: Пара последовательностей комплексных чисел {an} и {pn}, где
pn = a1a2 … an, n = 1, 2, …, (1.1)
называется
бесконечным произведением
и обозначается
Члены последовательности {an} называются сомножителями бесконечного произведения (2.2), а члены последовательности {pn} – его частичными произведениями (порядка n).
Если последовательность
p = = , (1.3)
то этот предел называют значением бесконечного произведения (1.2) и пишут
pn = a1 a2 … an =
Таким образом, аналогично
Если хотя бы один из
= 0
Поэтому естественно предполагать, что все сомножители рассматриваемых бесконечных произведений отличны от нуля. Это всегда и будем делать в дальнейшем, не упоминая об этом специально.
Особый интерес представляют
бесконечные произведения, значениями
которых являются числа,
Определение 2: Бесконечное произведение называется сходящимся, если оно имеет конечное значение, отличное от нуля.
В противном случае
= 0,
То произведение называется расходящимся к нулю.
Если в бесконечном
Называется n-м остаточным произведением.
Отметим простейшие свойства бесконечных произведений:
1°. Если бесконечное произведение сходится, то и все его остаточные произведения сходятся.
Если какое – либо остаточное произведение сходится, то и само бесконечное произведение сходится.
Таким образом, для
2°. Если бесконечное произведение (2.2) сходится, то последовательность его остаточных произведений
qn = (1.5)
имеют пределом единицу:
= 1. (1.6)
Доказательство:
Если
= р, (1.7)
то
n = = = .
Так как
= p ≠ 0,
то
= = = 1.
3°. (необходимое условие сходимости бесконечного произведения) Если бесконечное произведение (1.2) сходится, то последовательность его сомножителей стремится к единице:
= 1. (1.8)
Доказательство:
В самом деле, an = , n = 2, 3, …, поэтому
= = = 1.
Отметим,
что выполнение условия (1.8), т.е. стремление
последовательности сомножителей бесконечного
произведения к единице, недостаточно
для его сходимости. [3, с. 59 - 63]
Задачи:
№1. Определить сходимость и значение следующих бесконечных произведений:
Значение бесконечного произведения равно 1 бесконечное произведение сходится, т.к. оно имеет конечное значение, отличное от нуля.
Частичное произведение рn = (-1)n, = – не существует бесконечное произведение расходится.
Частичное произведение pn = , = = 0 = 0 бесконечное произведение расходится к нулю.
Частичное произведение
pn = (1 - ) ∙ (1 - ) … (1 - = ∙ … = ∙,
= ∙ = значение бесконечного произведения равно бесконечное произведение сходится, т.к. оно имеет конечное значение отличное от нуля.
можно рассматривать как разложение числа π в бесконечное произведение: = .
Частичное произведение pn = = = , где С – постоянная Эйлера, а {} – бесконечно малая последовательность = = бесконечное произведение сходится, т.к. оно имеет конечное значение отличное от нуля.
№2. Доказать равенства:
Частичное произведение:
pn = = = = =
= = = 2.
Частичное произведение:
pn = = = = ∙
=
= = .
№3. Доказать, что (при |x| < 1)
(1+x)(1+x2)(1+x4) ∙ … ∙ (1+) =
Убедимся в этом, используя последовательное умножение:
(1 – x) ∙ pn = (1 – x)(1 + x)(1 + x2) ∙ … ∙ (1 + ) =
pn = = = .
№4.
Доказать, чnо бесконечное произведение:
= ∙ ∙ … ∙ ... при любом x ≠ πn сходится и имеет значение
Частичное произведение:
pn = ∙ ∙ … ∙ .
Умножим обе части на и, последовательно используя формулу для синуса двойного угла = , получим:
pn
pn = {}.
Поскольку выражение {} стремится к 1 при n → ∞ (в силу первого замечательного предела), то =
бесконечное произведение = ∙ ∙ … ∙ ... сходится и имеет значение при любом x ≠ πn.
№5. Доказать, что бесконечное произведение:
= = ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙ ∙ … сходится и имеет значение .
Частичное произведение:
Pn = [ ∙ ∙ … [ ∙ ∙ … = ∙
= =
бесконечное произведение = = ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙ ∙ … сходится, т.к. оно имеет конечное значение отличное от нуля.
№6. Пусть а1 = 1 и аn = n(an-1 + 1) при n ≥ 2. Докажите, что
Из равенства an+1 = (n + 1)(an + 1) следует, что an + 1 = . Поэтому PN = = = . Значит, PN + 1 = PN = PN + = PN + . Поэтому PN = (PN - PN – 1) + (PN - 2 - PN – 3) + … + (P2 - P 1) + P 1 = + + … + + 1.
№7. Докажите, что если 0 ≤ bk < 1, то бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд .
Последовательность pn = невозрастающая, поэтому она сходится либо к положительному числу, либо к нулю. Т.к. 0 ≤ bk < 1, то 1 – b ≤ . Поэтому . Это означает, что если ряд bk расходится, то = 0.
Предположим теперь,
что если ряд сходится.
Тогда существует такое
натуральное число
N, что < . Если
α1, α2 ≥ 0, то (1 - α1)(1
– α2) ≥ 1 - α1
- α2. Пользуясь этим неравенством,
индукцией по m легко показать, что если
α1, … αm ≥ 0, то (1 - α1)
… (1 – αm) ≥ 1 - α1
- … - αm. Таким образом, если n > N,
то = ≥ 1 - -
… - > . Эти неравенства
показывают, что последовательность
невозрастающая и > 0.
Поэтому предел существует
и не равен нулю.
§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений
Установим необходимые и достаточные условия сходимости бесконечных произведений.
Теорема1.1: (критерий Коши)
Для того чтобы бесконечное произведение (1.2) сходилось, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое n0, что для всех n > n0 и всех m ≥ 0 выполняется неравенство
| - 1| < ε. (35.9)
Доказательство. Необходимость:
Пусть бесконечное произведение (1.2) сходится, тогда все аn ≠ 0, n = 1, 2, …, и, в силу необходимого условия сходимости (1.8), последовательность {|pn|} ограничена снизу: существует такое число с > 0, что
|pn| > c, n = 1, 2, … . (1.10)
Зададим произвольно ε > 0. Из сходимости последовательности, следует, что найдется такой номер n0, что для всех номеров n > n0 и всех m ≥ 0 выполняется неравенство
|pn+m – pn| < cε, (1.11)
а тогда
| - 1| = |pn+m – pn| < cε = ε,
т.е. выполнимо
условие (1.9).
Достаточность:
Пусть выполнено условие (1.9). Тогда для ε = 1 существует такой номер n1, что для всех m ≥ 0 выполняется неравенство
| – 1| < 1,
откуда
|pn1+m| = | – 1 + 1| | | – 1| | +| ≤ 2 |,
и, следовательно, последовательность {pn} ограничена, т.е. существует такое с > 0, что
|pn| ≤ с, n = 1, 2, … . (1.12)
Зададим произвольно ε > 0. В силу условия теоремы, найдется такой номер n0, что для всех номеров n > n0 и всех m ≥ 0 будет выполняться неравенство
| - 1| < , (1.13)
т.е.
|pn+m – pm| < |pm| ≤ ε.
Это означает, что числовая последовательность {pn} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится.
Покажем,
что ее предел р =
не равен нулю. Если бы он был равен нулю,
то, перейдя к пределу в неравенстве (1.13)
при m→∞ (n фиксировано), мы получили бы
неравенство 1 ≤ ε, что противоречит произвольному
выбору ε > 0. [3, с. 63 - 64]
§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями
До сих пор
все доказанные для бесконечных
произведений теоремы были справедливы
независимо от того, являлись ли их сомножители
комплексными или только действительными
числами. Перейдем теперь к изучению
бесконечных произведений, сомножители
которых являются только действительными
числами. В этом случае из необходимого
условия сходимости (1.8) следует, что
все его сомножители начиная
с некоторого номера положительны.
Согласно же свойству 1°, отбрасывание
конечного множества
Взаимно
обратную связь между
Теорема 1.2:
Для того чтобы бесконечное произведение
, аn > 0, n = 1, 2, …, (1.14)
сходилось
необходимо и достаточно,
чтобы сходился ряд
Если при сходимости ряда (1.15) s является его суммой, а р – значением бесконечного произведения (1.14), то
p = . (1.16)
Доказательство:
В самом деле, если sn – частичная сумма порядка n для ряда (1.15), а pn – частичное произведение того же порядка для бесконечного произведения (1.14), то
= = ln = ln, n = 1, 2, …,
а следовательно, рn = esn. Перейдя здесь к пределу при n → ∞, получим формулу (1.16).
При исследовании
бесконечного произведения (1.2) часто
бывает удобным его
an = 1 + un, n = 1, 2, … .
В случае
сходящегося бесконечного
Теорема 1.3:
Если
все un
, n=1, 2, …, знакопостоянны(т.е.
все un
≥ 0 или все un
≤ 0), то, для того чтобы
сходилось бесконечное
произведение
необходимо
и достаточно, чтобы
сходился ряд
(1.18)
Доказательство:
Согласно
необходимому условию
= 0.
(1.19)
Поэтому будем предполагать это условие выполненным.
Сходимость бесконечного произведения (1.17), согласно теореме 1.1, равносильна сходимости ряда
).
(1.20)
В силу же (1.19), имеет место эквивалентность
) ~ , n → ∞,
и так как все un одного знака, то, согласно признаку сравнения рядов, ряд (1.20) сходится и расходится одновременно с рядом (1.18).
Отметим, что бесконечное произведение расходится. Из этого утверждения, в силу теоремы 1.3, следует, что ряд расходится, - еще одно доказательство расходимости гармонического ряда.
В случае
знакопеременных un имеет место
следующее достаточное условие сходимости
ряда (1.17).
Теорема 1.4:
Если
сходятся ряды
(1.21)
то бесконечное произведение сходится.
Доказательство:
Прежде всего из сходимости рядов (1.21) следует выполнение условия (1.19). А тогда, согласно формуле Тейлора,
) = - + o(, n →∞,
и, следовательно,
.
Из этого равенства, согласно признаку сравнения рядов, следует, что ряд
-
(1.22)
сходится, так
как, по условию, сходится ряд
По условию, сходится
и ряд , поэтому из сходимости
ряжа (1.22) следует и сходимость
ряда , что, в силу
теоремы 1.2, означает
сходимость бесконечного
произведения (1.17).
[3, 64 - 68]
Задачи
№1. Доказать что бесконечное произведение сходится при х > 1 и расходится при х ≤ 1.
Согласно теореме 1.3, это следует из того, что ряд сходится при х > 1 и расходится при х < 1.
№2. Имеет место равенство Эйлера:
, 0 < q < 1.
Произведения и сходятся, так как сходятся соответственно ряды и (согласно теореме 1.3)
В силу аналогичных соображений сходится и бесконечное произведение , а следовательно, в силу критерия Коши сходимости бесконечных произведений, выполняется условие .
= = .
№3. Исследовать на сходимость произведения: и .
Данные бесконечные произведения сходятся или расходятся вместе с рядами и .
Поскольку ряд сходится ( ), а ряд расходится ( ~ ), то бесконечное произведение сходится, а расходится.
№4. Доказать расходимость следующих бесконечных произведений:
= (1 + 1) (1 + (1 + ) … (1 + ) … .
= (1 – ) (1 – ) … (1 – ) … .
Расходимость этих произведений вытекает из расходимости гармонического ряда и теоремы 1.3. для этого рассмотрим гармонический ряд: 1 + + … + + … и докажем, что он расходится. Действительно, для любого n = 1, 2, … имеем un + un+1 + … + u2n-1 = + + … + > + + … + = = , т.е. для любого n при ε = и p = n – 1 неравенство | un + un+1 + … + un+p| < ε не выполняется.
Таким образом из критерия Коши: для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер nε, что при любом n > nε и любом целом p ≥ 0 выполнялось неравенство | un + un+1 + … + un+p| < ε, следует что гармонический ряд расходится.
Легко также понять, что первое произведение = +∞ расходится к +∞, а второе произведение = 0 расходится к нулю.
№5. Доказать что следующие бесконечные произведения сходятся:
) = (1 + 1) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) … .
)] =(1- ) (1- ) … (1 - ) … .
Из теоремы 1.3 и из сходимости ряда при α > 1 вытекает сходимость данных бесконечных произведений при α > 1.
№6. Пусть a2n-1 = , a2n = - + . Доказать, что бесконечное произведение сходится, а ряды и расходятся.
Если a2n-1
= O(), a2n = O(),
= O(), = O() при n → ∞, то
an = O(), = O()
при n → ∞ и ряды ,
расходятся по признаку
сравнения с гармоническим
рядом. Необходимое
условие сходимости
бесконечного произведения
выполнено. Оно сходится
тогда и только тогда,
когда сходится . Поскольку
= и ряд сходится,
то вместе с ним сходится
и данное бесконечное
произведение.
§1.4 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения
Вернемся
снова к изучению бесконечных
произведений с, вообще говоря,
комплексными сомножителями.
Определение
3: Бесконечное
произведение
(1.23)
Называется
абсолютно сходящимся,
если сходится произведение
(1.14)
Теорема 1.5:
Для
того чтобы бесконечное
произведение (1.23)
абсолютно сходилось,
необходимо и достаточно.
Чтобы сходился знакопостоянный
ряд
(1.25)
А
так же необходимо
и достаточно чтобы
абсолютно сходился
каждый из рядов
(1.26)
и
(1.27)
Доказательство:
Равносильность
сходимости бесконечного
Из сходимости каждого из рядов (1.25), (1.26) и (1.28) следует, что
= 0,
а при выполнении этого условия имеет место эквивалентность
~ ~ , n → ∞.
Поэтому все
ряды
одновременно
сходятся или расходятся. Это и
означает, что сходимость ряда (1.25) равносильна
абсолютной сходимости каждого из рядов
(1.26) и (1.27).
Замечание:
Если
сходится бесконечное
(1.28)
причем
Это следует из того, что если pn, n = 1, 2, …, является частичным произведением порядка n бесконечного произведения (1.23), то обратная величина является частичным произведением того же порядка бесконечного произведения (1.28).
Бесконечные
произведения (1.23) и (1.28) одновременно
сходятся абсолютно или нет,
так как абсолютная сходимость
и того и другого произведения
равносильна абсолютной
Теорема 1.6:
Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его сходимость.
Доказательство:
Если
бесконечное произведение (1.23) абсолютно
сходится, то согласно теореме
1.5, сходится, и даже абсолютно,
ряд (1.26), что согласно теореме
1.2, равносильно сходимости бесконечного
произведения (1.23).
Теорема 1.7:
Значение абсолютно сходящегося произведения не зависит от порядка сомножителей.
Это сразу следует из формулы (1.16), ибо если бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходится, то абсолютно сходится и ряд (1.15) (он совпадает с рядом (1.26)), а следовательно, его сумма s не зависит от порядка слагаемых.
Если
бесконечное произведение
Задачи:
№1.
Выяснить при каких х сходится, абсолютно
сходится и расходится бесконечное произведение
При х > 1 это произведение абсолютно сходится, так как сходится ряд . При < x ≤ 1 оно сходится, но не абсолютно, так как сходятся ряды и (по теореме 1.4). При 0 < x ≤ оно расходится к нулю, поскольку ряд сходится, а ряд расходится.
№2.
Показать, что бесконечное произведение:
абсолютно сходится при всех значениях z.
Действительно, может быть написано в виде 1 - , где |λn| < k и k не зависит от n, ряд же является абсолютно сходящимся, как видно из сравнения с рядом . Бесконечное произведение будет абсолютно сходящимся.
№3. Определить сходится ли абсолютно бесконечное произведение:
Чтобы узнать будет ли оно абсолютно сходящимся, рассмотрим ряд или . Этот ряд абсолютно сходится, а из этого следует, что произведение (1 - (1 - ) (1 - ) … будет абсолютно сходящимся при всех значениях z.
Абсолютная сходимость этого произведения зависит от абсолютной сходимости ряда : - + - + - … . Но этот ряд условно сходящийся, так как ряд модулей + + + + … расходится. Бесконечное произведение (1 - ) (1 + ) (1 - ) (1 + ) … не будет абсолютно сходящимся.
№4.
Выяснить при каких х сходится, абсолютно
сходится и неабсолютно сходится бесконечное
произведение:
Бесконечное произведение при х > сходится: именно, при х > 1 произведение абсолютно сходится, поскольку сходится ряд , а при < х ≤ 1 произведение неабсолютно сходится, так как сходятся ряды и . При 0 < х ≤ = 0, т.к. первый из этих рядов сходится, а второй уже нет.
№5.
Исследовать на абсолютную сходимость
бесконечное произведение:
Данное бесконечное произведение сходится или расходится абсолютно вместе с рядом , n ≥ 2. Этот ряд по степеням сходится лишь при |z| >1. Следовательно, областью абсолютной сходимости бесконечного произведения является множество D = {z
№6. Докажите, что
z (1 - ) (1 - ) (1 + ) (1 - ) (1 - ) (1 + ) … = .
Действительно,
= [×z = × z т.к.
произведение, множители
которого будут (1
) абсолютно сходится и, таким образом,
порядок его членов можно менять. Но т.к.
lg2 = 1 - + - + - …,
это показывает, что данное произведение
равно .
§1.5 Дзета – функция Римана и простые числа
Функция
(х) = ,
(1.29)
определенная этой формулой для х > 1, как известно, называется дзета – функцией Римана. Она играет большую роль во многих вопросах математического анализа.
Докажем,
что для нее имеется следующее
разложение в бесконечное
(1.30)
где произведение берется по всем простым числам pk, k = 1, 2, …, взятым в порядке возрастания (впрочем, как это будет показано ниже, это бесконечное произведение сходится абсолютно и поэтому не зависит от порядка сомножителей). Отметим, что во всех проводимых ниже рассуждениях не будет предполагаться, что простых чисел бесконечно много (т.е. все сказанное верно и в случае, если произведение (1.30) было бы конечно, а не бесконечно).
Так как
и ряд при х > 1 сходится, то, согласно теореме 1.5, абсолютно сходится бесконечное произведение , а следовательно, и произведение (1.29).
По формуле
для суммы геометрической
= , k = 1, 2, …,
(1.31)
где ряды в правых частях равенств, очевидно, абсолютно сходятся. Зафиксируем некоторое натуральное число N перемножим равенства (1.31), отвечающие всем простым числам p1, p2, …, не превышающим N: тогда
РN(x) = +
(1.32)
где знак «звездочка» у суммы означает, что суммирование распространяется только на те натуральные числа n ≥ N + 1, в разложении которых на простые множители участвуют только простые числа pk ≤ N и которые получаются при умножении отобранных рядов (1.31). Этими двумя свойствами заведомо обладают все натуральные числа 1, 2, …, N.
Так как
0 < РN(x) - = <
(1.33)
и ряд (1.29) сходится,
следовательно,
то
= = ,
т.е. представление (1.30) доказано.
Заметим,
что при х = 1 равенство (1.32) остается
верным, поэтому
РN(1) = = + > ,
а так как гармонический ряд расходится, то = +∞ и, следовательно,
= +∞.
(1.34)
Из этого
равенства следует, что
Из равенства (1.34) следует больше, чем просто констатация того, что множество простых чисел бесконечно. Этот факт можно установить и более простым способом. В самом деле, допустим, что простых чисел конечное множество р1, р2, …, рn. Тогда число n = р1р2…рn + 1 больше каждого из чисел р1, р2, …, рn и, следовательно, не равно никакому из них, а вместе с тем оно простое: если бы оно было не простым, то оно делилось бы на одно из чисел р1, р2, …, рn, так как, по предположению, других простых чисел нет. Но это не так: число n не делится ни на одно из чисел р1, р2, …, рn, ибо при делении его на любое из них остаток от деления равен 1.
Запишем
равенство (1.34) в виде
Из него, согласно
теореме 1.3, следует, что ряд
(1.35)
расходится. Это
утверждение сильнее
ГЛАВА II БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ
§2.1 Понятие о равномерной сходимости бесконечных произведений
Пусть u0, u1, …, un,… - последовательность функций, определенных на множестве E с вещественными или комплексными значениями. Бесконечное произведение называется просто сходящимся, если для любого x из E сходится бесконечное произведение вещественных или комплексных чисел. Это означает, что последовательность функций просто сходится к нигде не равной нулю предельной функции.
Произведение называется абсолютно простым сходящимся, если для любого x из E числовое произведение абсолютно сходится.
Выражение «равномерная
сходимость» для произведения функций
не ясно. Фраза о том, что произведение
комплексных функций
на Е сходится равномерно
к функции означать,
что и ∏n нигде на E в нуль не обращаются
и что функции равномерно
сходятся к функции
Та же самая фраза может
также означать, что
и ∏n нигде на Е в нуль не обращаются
и что отношение равномерно
сходится к 1. Как легко
видеть, эти два понятия
не обязательно совпадают.
Однако они совпадают,
если предел имеет на
Е равномерные оценки
снизу и сверху такого
вида: 0 < a ≤≤
b < +∞. В самом деле, в этом случае из неравенства
|| ≤ ε следует неравенство
≤ , а из неравенства || ≤ ε следует
неравенство || ≤ bε. Только в этом случае
мы можем позволить себе говорить о равномерной
сходимости бесконечного произведения
функций. Однако всегда можно говорить
о локальной равномерной сходимости бесконечного
произведения функций, непрерывных на
некотором топологическом пространстве
Е (и тогда предел будет
также непрерывным). В самом деле, если
функции ∏n сходятся локально равномерно
к функции , то согласно следующей
теореме: Пусть E и F – два метрических
пространства и f0,
f1,f2,…,fn,… - последовательности
отображений Е в F, локально равномерно
сходящаяся к f. Если все функции fn
непрерывны в точке a из E, то и предельная
функция непрерывна в точке a. Если функции
fn непрерывны всюду то и а непрерывна
всюду. Если сходимость равномерна на
Е и все fn равномерно непрерывны
на E,то f также равномерно непрерывна на
E. Функция ∏ будет непрерывной. Так как
она везде отлична от 0, то для каждой точки
а существует окрестность V’a, в
которой |∏| ограничена сверху и снизу
некоторыми положительными фиксированными
числами. Но тогда во всякой окрестности
Va V’a, в которой функции ∏n
сходится равномерно к функции ∏, отношение
равномерно сходится к 1. Обратно, предположим,
что локально равномерно сходится
к 1. Тогда для каждого а из Е существует
окрестность V’a и число n, такие,
что || для хV’a. Отсюда следует
|| , а, значит,
|∏n(x)| ≤ |∏(x)| ≤ 2|∏n(x)|. Поскольку
функции ∏n непрерывны и ∏n(а)
≠ 0, то существует окрестность V’’a
V’a точки а, в которой функции
|∏n| ограничены сверху снизу
положительными постоянными. При этом
функция |∏(x)| также будет ограниченной.
Если теперь Va
V’’a является окрестностью, на
которой сходится
равномерно к 1, то ∏n
будут на ней равномерно сходится к ∏.
[5, с. 167 – 168]
§2.2 Применение к функции Римана
Функция Римана определяется формулой
(s) = . (2.1)
Пусть s = + i и - вещественное число > 0. Тогда данный ряд, рассматриваемый как ряд функций, определенный в области ≥ 1 + комплексной плоскости, является нормально сходящимся. В самом деле,
|| = ≤ . (2.2)
Так как
для любого n функция s →
непрерывна в полуплоскости
Рассмотрим
теперь бесконечное
G(s) = . (2.3)
Любой член произведения всегда ≠0. Впрочем, знаменатель 1 - ≠ 0 для > 0. Кроме того, в этом случае при > 0 модулем числа является число < 1 и, следовательно, применима следующая теорема:
Для того чтобы бесконечное произведение υn), υn ≠ -1), было абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы был сходящимся ряд υn|.
Бесконечное
произведение абсолютно
Теорема 2.1: При > 1 имеет место равенство G(s) = (s).
Доказательство: При доказательстве этой теоремы естественно считать s раз и навсегда фиксированным. Поскольку ряд и произведение G сходится, то для любого ε > 0 можно найти целое число m, обладающее следующими свойствами:
а) остаток мажорируется числом ;
b) если через Gm(s) обозначить частные произведения, образованные из m первых множителей бесконечного произведения, то |Gm(s) – G(s)| ≤ .
Для каждого
простого числа р имеет место
разложение в абсолютно
= 1 + + + + … = . (2.4)
В силу правила относительно произведения нескольких абсолютно сходящихся рядов, можно записать:
Gm(s) = . (2.5)
где p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, …, pm суть m первых простых чисел и k1, k2, …, km – целые числа ≥ 0. Отсюда следует, что
Gm(s) = , (2.6)
где пробегает последовательность всех целых чисел, которые в разложении на простейшие множители содержат только простые числа p1, p2, …, pm. Рассмотрим теперь разность Gm(s) – (s); она состоит из части членов ряда , соответствующих индексам n > m, и потому
|Gm(s) – (s)| ≤ ≤ , (2.7)
откуда вытекает неравенство
|G(s) – (s)| ≤ |G(s) – Gm(s)| + |Gm(s) – (s)| ≤ . (2.8)
Поскольку произвольно, то получаем, что G(s) = (s).
Следствие: При > 1 функция в нуль никогда не обращается.
Это очевидно,
так как она равна значению
сходящегося бесконечного
Теорема 2.2: Бесконечное произведение расходится.
Заметим
для этого, что для
1 + + … + ≥ А. (2.9)
Рассмотрим теперь частные произведения Gm. Примененные выше разложения в геометрический ряд имеют смысл и, следовательно, Gm является суммой ∑-1, в которой пробегает все целые числа, разложение которых на сомножители состоит только из простых чисел р1, р2, …, рm. Отсюда, в частности, вытекает, что имеет место неравенство
Gm(1) = ∑ ≥ 1 + + … + ≥ A. (2.10)
Поскольку А произвольно, из этого неравенства следует, что рассматриваемое бесконечное произведение (сомножители которого > 1) расходится: G(1) = +∞.
Следствие: Множество простых чисел бесконечно; кроме того ряд , составленный из простых чисел, расходится.
В самом
деле, расходимость этого ряда
эквивалентна расходимости
Замечание: Рассмотрим знакопеременный ряд
а(s) = - + … + (-1)n-1 + … . (2.11)
Как мы только что видели, этот ряд сходится для > 0. Покажем, что он даже равномерно сходится на каждом компакте открытой полуплоскости > 0 комплексной плоскости. Пусть К – такой компакт. Заметим прежде всего, что на К функция |s| в силу ее непрерывности ограничена сверху некоторым числом S. Точно так же непрерывная всюду положительная функция на К ограничена снизу некоторым числом > 0.
Применим теперь теорему Абеля:
Пусть Е, F, G – три пространства Банаха. Пусть – некоторая последовательность векторов из Е с ограниченной вариацией, стремящихся к при n → ∞, и - последовательность векторов из F с ограниченными частными суммами, т.е. такая, что нормы величин
= + + … + , n ≥ m,
ограничены. Тогда, если В является билинейным непрерывным отображением пространства Е×F в пространство G, то ряд с общим членом = B(, ) сходится.
Кроме того, если положитьUm = || - || + || - || + … u Vm = = supn ≥ m ||||, то сумма и остаток = + + … могут быть оценены следующим образом:
|||| ≤ ||B||U0V0 и |||| ≤ ||B||Um+1Vm+1.
Имеем:
= un, где = (-1)n-1, un = .
Величины || мажорируется числом 1. Покажем, что последовательность чисел un имеет ограниченную вариацию. Имеем:
- = s, (2.12)
откуда
| - | ≤ |s| (2.13)
и
| - | + | - | + … ≤ |s| = . (2.14)
Следовательно, ряд сходится, а формула |||| ≤ ||B||U0V0 и |||| ||B||Um+1Vm+1 дает для остатка следующую оценку:
|| ≤ . (2.15)
Так как при этом |Rm| ≤ , где правая часть не зависит от s и стремится к 0 при m, стремящемся к +, то сходимость ряда равномерна на К.
Если считать, что > 1, то можно указать простую связь между функциями и а. В самом деле, из формулы
а(s) = (s) - 2
получаем:
а(s) = (s)(1 - , или (s) = . (2.16)
Свойство равномерной сходимости, доказанное для а, показывает, что эта функция непрерывна на каждом компакте К открытой полуплоскости > 0. Следовательно, она непрерывна всюду в этой полуплоскости. В частности, при s, стремящемся к 1,а(s) стремится к а(1) = ln 2. Тогда из формулы (2.16) следует, что при s, стремящемся к 1, (s) эквивалентна
~ = .
В результате формула (2.16) позволяет продолжить функцию во всей комплексной плоскости и показать, что это голоморфная комплексной переменной s, т.е. непрерывная функция с непрерывной первой производной по отношению к этой комплексной переменной в дополнении к точке s = 1 комплексной плоскости. Эта точка s = 1 является полюсом, (1) = ∞. Продолженная функция обращается в нуль в точках s = -2, -4, -6, … . Исследование этой функции дает сведения о распределении простых чисел. Риман высказал гипотезу, о том, что продолженная функция имеет все нули, кроме предыдущих, на вертикальной полупрямой = . Доказательство этого утверждения дало бы исключительно важные сведения о распределении последовательности простых чисел. Во всяком случае, уже известные в настоящее время свойства функции позволяют показать, что n-е простое число эквивалентно при n, стремящемся к бесконечности, числу n ln n, или что число простых чисел, заключенных между 1 и N, эквивалентно при N, стремящемся к +∞, числу .
Теория
простых чисел является одной
из самых интересных, но и самых
трудных математических теорий.
[5, с. 168 – 173]
§2.3 Разложение функции в бесконечное произведение
Разобьем вывод формулы на отдельные этапы.
1) Пусть m – любое
положительное нечетное число: m = 2n + 1.
Прежде всего докажем, что для любого отличного
от kπ (k = 0, 1, …) значения ( в дальнейшем
нас будут интересовать значения лишь
из интервалов
n = .
(2.17)
Для вывода формулы
(2.17) будем исходить из формулы Муавра:
Расписывая правую
часть этой формулы с помощью
бинома Ньютона и сравнивая мнимые
части, получим
Учитывая, что
m = 2n + 1, будем иметь
(2.18)
В правой части
(2.18) все показатели при косинусах
и синусах четные, так что если
заменить на 1 - то в правой части (2.18) получится
многочлен степени n относительно .
Положив z =, обозначим этот многочлен символом
F(z), а его корни символами α1, α2,
…, αn. Так как при z = → 0 и левая часть
(2.18) стремится к единице, то многочлен
F(z) можно представить в виде:
Остается определить корни α1, α2, αn. Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции получим
α1 = , α2 = , …, αn = .
Таким образом, формула (2.17) установлена.
2) Положив в
формуле (2.17) и считая,
что 0 < |x| < πm, придадим этой формуле
вид
(2.19)
Фиксируем любое
(отличное от нуля) значение и возьмем
два произвольных натуральных числа
p и n, удовлетворяющих неравенствам 2
< p < n = . Тогда
формулу (2.19) можно записать
в виде
(2.20)
где
(2.21)
Прежде всего оценим . Поскольку 2 < p < n = , то аргументы всех синусов , стоящих в формуле (2.21), принадлежат интервалу ( -. Кроме того, ясно, что для всех k, участвующих в этой формуле, |x| < и, следовательно,
<
(так как < , т.е. < , и поэтому > ).
Для любого β
из интервала 0 < β <
справедливы неравенства
1 > 1 -
(2.22)
Почленно перемножая неравенства (2.22), записанные для k = p + 1, p + 2, …, n, получим следующую оценку для :
1 > > .
(2.23)
Так как
аргумент лежит
в первой четверти и
для любого β из первой
четверти 1 ≥ ≥ ,
то
Таким образом,
> = .
Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (2.23):
1 > > .
(2.24)
3) Теперь в формуле (2.20) устремим число m к бесконечности, оставляя фиксированным значение х и номер р. Поскольку = x, = (kπ)2, то существует предел левой части (2.20), равный , и предел конечного произведения , равный .
Далее будем считать, что последний предел отличен от нуля, так как , когда он равен нулю, = 0 и разложение установлено. Но тогда существует предел . Обозначим этот предел через . Из неравенств (2.24), справедливых для любого номера m, вытекает, что
1 ≥ (x) ≥ .
(2.25)
Формула (2.20) в пределе при m →∞ дает
(x).
(2.26)
4) Остается, сохраняя
фиксированным х, устремить в
формуле (2.26) номер p к бесконечности.
Поскольку левая часть (2.26) не зависит
от р, а предел в силу
неравенств (2.25) существует
и равен единице, то
существует и предел
Таким образом
разложение для установлено.
[2, с. 51 – 54]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной
курсовой работе было
ИСПЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА