Автокорреляция и ее устранение

     Если  бы уравнение u_k+1= pu_k + e_k+1 было правильной спецификацией для измерения величины случайного члена, то возможно было бы полностью устранить автокорреляцию, если бы знали величину p. Это будет продемонстрировано на примере уравнения регрессии, включающего только одну объясняющую переменную, однако при большем их числе действует тот же принцип [9, C.91].

     Предположим, что истинная модель задается выражением ,

так что  наблюдения t и t - 1 формируются как     .

     Теперь  вычтем из обеих частей уравнения  умноженное на p соотношение и получим: .

Обозначим и .

Тогда формулу  можно переписать как

.

     Вместе  с тем из уравнения u_k+1= pu_k + e_k+1 имеем . Таким образом, формула принимает вид:

     Если p известно, тогда можно вычислить величины , , и   (последняя одинакова для всех наблюдений) для наблюдений, включающих от 2 до Т исходных данных. Если теперь оценить регрессию между , , и   (заметим, что в уравнение не должна включаться постоянная), то будут получены оценки и , не связанные с проблемой автокорреляции, поскольку, согласно предположению, значения е не зависят друг от друга.

     Остается  небольшая проблема. Если в выборке нет данных, предшествующих первому наблюдению, то невозможно вычислить ,   и потеряется первое наблюдение. Число степеней свободы уменьшается на единицу, и это вызовет потерю эффективности, которая может в небольших выборках перевесить повышение эффективности от устранения автокорреляции [4, C.72].

     Эту проблему можно довольно легко обойти, пользуясь так поправкой Прайса – Уинстена.

     Поправка Прайса–Уинстена – метод спасения первого наблюдения в автокорреляционной схеме первого порядка.

     Случайный член , согласно определению, не зависит от значения и в любом предшествующем наблюдении. В частности, все величины не зависят от u₁. Следовательно, если при устранении автокорреляции все другие наблюдения преобразуются, то не требуется преобразовывать первое наблюдение. Можно сохранить его, включив в новую схему, полагая, что

     Таким способом возможно спасти первое наблюдение, но здесь есть небольшая проблема, которую требуется решить. Если p велико, то первое наблюдение будет оказывать непропорционально большое воздействие на оценки, исчисленные по уравнению регрессии. Чтобы нейтрализовать этот эффект, уменьшим вес данного наблюдения умножением его на величину , полагая и

     Конечно, на практике величина р неизвестна, его оценка получается одновременно с оценками и . Имеется несколько стандартных способов такого оценивания, например, метод Кокрана - Оркатта.

     Метод Кокрана–Оркатта – компьютерный итерационный метод устранения автокорреляции первого порядка.

     Метод Кокрана–Оркатта с поправкой Прайса – Уинстена итерационно оценивает a, b₁, b₂, .. b_m и  коэффициент r в авторегрессионной схеме, пока разница между результатами итераций не станет очень малой. Реализуется только на компьютере.

     Метод Кокрана – Оркатта включает следующие этапы.

     1. Оценивается регрессия  с исходными непреобразованными данными.

     2. Вычисляются остатки.

     3. Оценивается регрессионная зависимость  е_t от е_t-1, соответствующая формуле u_k+1= pu_k + e_k+1, и коэффициент при е_t-1, представляет собой оценку p .

     4. С этой оценкой р уравнение преобразуется в , оценивание которого позволяет получить пересмотренные оценки  и .

     5. Повторно вычисляются остатки,  и процесс возвращается к этапу.  

     Заключение 
 

     При наличии во временном ряде тенденции  и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

     Количественно ее можно измерить с помощью линейного  коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

     По  знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в  уровнях ряда. Большинство временных  рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

     Последовательность  коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и других порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

     Анализ  автокорреляционной функции и коррелограммы  позволяет определить лаг, при котором  автокорреляция наиболее высокая, а  следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

     Наилучший, но не всегда возможный, способ устранения автокорреляции – установление ответственного за нее фактора и включение соответствующей объясняющей переменной в регрессию. 
 

     Глоссарий 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  использованных источников 
 

     

1. Бывшев  В.А. Эконометрика: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2008.

2. Валентинов  В.А. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: Юнити, 2009.

3. Давыдов С.Б. Математическое моделирование экономических  систем. – М.: Либроком, 2010.
4. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник. – М.: Экзамен, 2009.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник. – М.: Дрофа, 2008.
6. Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: Учебное пособие. – М.: Академия, 2009.
7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2010.
8. Мардас А. Н. Эконометрика: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2009.
9. Орлов А.И. Эконометрика: Учебник. – М.: Феникс, 2009.

10. Толоконников  Л. А., Кочетыгов А. А.Основы эконометрики: Учебное пособие. – М.: Феникс, 2009.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                        Приложение 1 
 

        

     Схема 1.1 Положительная автокорреляция 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                        Приложение 2 
 

        

Схема 1.2 Отрицательная автокорреляция