Андрей Николаевич Колмогоров

Помимо математики, где ему принадлежат  классические достижения не менее чем  в двух десятках областей, Андрей Николаевич добился выдающихся результатов в физике, механике, геофизике, океанологии, теории стрельбы; с большим интересом и успехом он занимался проблемами биологии и стиховедения

В начале шестидесятых Андрей Николаевич приступил к созданию последнего из своих математических шедевров — к созданию колмогоровской теории сложности, называемой сейчас теорией колмогоровской сложности (the theory of Kolmogorov complexity). Эта теория позволяет оценивать уровень сложности тех или иных объектов, прежде всего текстов (т. е. конечных цепочек букв).

А. Н. Колмогоров является крупнейшим современным кибернетиком. Всему миру известны его работы по применению научного математического анализа к поэтическим произведениям художественной литературы. В области кибернетики им высказано много интересных мыслей, догадок и гипотез. В частности, ему принадлежит следующая весьма смелая мысль:

« Принципиальная возможность  создания полноценных живых существ, построенных на дискретных цифровых механизмах переработки информации и управления, не противоречит принципам материалистической диалектики». [2]

В конце своей творческой жизни Андрей Николаевич провозгласил начала грандиозной программы по осмыслению единства детерминированных  и хаотических явлений: мир един – большинство детерминированных явлений, обладающих определенной неустойчивостью, начинают вести себя как случайные, и наоборот, случайные явления подчиняются строгим законам. В основе нового осмысления лежит понятие сложности: сложно описываемое детерминированное явление ведет себя как случайное. В этой концепции соединились фактически все направления его научных поисков: и его исследования в теории функций, с которых он начинал и где достиг первого большого успеха, и его труды в области математической логики, теории информации, теории автоматов, теории аппроксимации, динамических систем, классической механики, теории турбулентности и, разумеется, теории вероятностей. Таким образом, творческая биография А.Н.Колмогорова предстает перед нами общностью идей, теорий и результатов, соединенных между собой единым философским и естественнонаучным замыслом.

 

1.3 ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ Колмогорова

 

 Андрей Николаевич был счастлив  в своих учениках. Он создал  выдающуюся научную школу. Большинство  его учеников стало лидерами своих научных направлений, продолжая дело своего учителя. Много раз пытались составить полный список его учеников, но эта затея была невыполнимой – хотя бы потому, что сама задача была неформальной. В 1963 году, к 60-летию Андрея Николаевича, на его кафедре (теории вероятностей) была нарисована огромная "архимедова спираль" из его учеников (сам А.Н.Колмогоров составлял "ядро"). Сколько бы ни включали в этот список-спираль фамилий, всегда оказывалось, что есть еще ученики Андрея Николаевича и ученики учеников. На стр. 134-135 книги "Колмогоров в воспоминаниях" приводится, как казалось составителю, достаточно полный список учеников Колмогорова, но всё идут и идут дополнения. Вот только академики и членкоры: И.В. Арнольд, А.А.Боровков, И.М.Гельфанд, А.Н.Мальцев, М.Д.Миллионщиков, В.С.Михалевич, С.М.Никольский, А.М.Обухов, Ю.В.Прохоров, Я.Г.Синай, Б.В. Гнедиенко, С.Х.Сираждинов, В.А.Статулявичюс, Л.Н.Большев, А.С.Монин, Б.А.Севастьянов, А.Н.Ширяев.

Андрей Николаевич был замечательным  деканом. « Мне повезло на талантливых учеников », - говорил он. « Многие из них, начав работу вместе со мной в какой-нибудь области, потом переходили на новую тематику и уже совершенно независимо от меня получали замечательные результаты» [3]. Колмогоров говорил, что надо прощать талантливым людям их талантливость, и спас не одного из очень известных сейчас математиков от исключения из университета. Он всегда верил в доброе начало в человеке. Андрей Николаевич поддерживал многих, и почти во всех случаях те, кому он оказал поддержку, заняли достойное место в науке.

От других профессоров Андрея Николаевича  отличало полное уважение к личности студента. Он всегда ожидал услышать от ученика что-то новое, неожиданное, и в высшей степени обладал той заразительной увлечённостью наукой, которая прежде всего и нужна студентам.

Главное, что давал Андрей Николаевич как учитель, это увлечённость делом и веру в собственные силы. «Он умел сделать так, что ученик вырастал много выше того потолка, который сам себе отмерял », - вспоминает А. М Абрамов, ученик Колмогорова.

Замечательная закономерность: многие из учеников Колмогорова, обретая самостоятельность, начинали играть ведущую роль в избранном направлении исследований. И академик с гордостью подчеркивает, что наиболее дороги ему ученики, превзошедшие учителя в научных поисках.

Есть особая примета человеческой неувядаемости. Интересуется ли имярек молодежью, волнуют ли его их проблемы? Если на это «нет времени», можно  не сомневаться, что человек остановился в развитии, все, точка. И другая примета: как к тебе самому относится молодежь?

Колмогорова никогда не приходилось  упрашивать выступить на студенческом диспуте, встретиться со школьниками  на вечере. По сути дела, он всегда был  в окружении молодых. И снова тут взаимное обогащение. Его очень любят, к мнению всегда прислушиваются. Свою роль играет не только авторитет всемирно известного ученого, но и простота, внимание, духовная щедрость, которую он излучает.

Почти треть своей творческой жизни  Андрей Николаевич посвятил воспитанию юношества, школе. Он организовал замечательный интернат для одаренных школьников из провинции (теперь этот интернат носит имя А.Н.Колмогорова), был одним из основателей журнала "Квант" и приложения к нему – "Библиотечки "Квант", занимался математическими олимпиадами, а главное, был одним из инициаторов глубокой реформы средней школы. Вклад А.Н.Колмогорова в дело просвещения еще ждет своего подробного изучения и признания.

 

2. Вклад А.Н. Колмогорова в теорию связи

 

Значительное влияние работы Колмогорова  оказали и на формирование нескольких направлений в теории связи, в частности на развитие статистических методов анализа радиотехнических систем, а также теорий оптимальной линейной фильтрации и информации. Следует отметить, что два первых направления Колмогоров разрабатывал, развивая "математический язык" и не имея в виду какие-либо конкретные прикладные задачи. Проблемы теории информации привлекли его внимание после прочтения знаменитой статьи Клода Шеннона "Математическая теория связи".

Статистические методы исследования стали применяться в радиотехнике в середине 30-х годов. Их интенсивное использование в конце 40-х было обусловлено задачами обработки принимаемых сигналов в присутствии шумов. За счет повышения чувствительности приемных устройств, планировалось расширить зону действия радиолокационных станций, аналогичные задачи приходилось решать и разработчикам систем радиосвязи.

В создании статистических методов  анализа радиотехнических систем существенную роль сыграла одна из самых замечательных  работ А.Н. Колмогорова "Об аналитических методах в теории вероятностей", о которой П. С. Александров и А. Я. Хинчин написали так: "Во всей теории вероятностей ХХ столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь же основополагающим для дальнейшего развития науки и ее приложений, как эта работа Андрея Николаевича. В наши дни из нее развилась обширная область учения о вероятностях - теория случайных процессов, по своему объему и количеству приложений могущая соперничать с "классическими" частями теории вероятностей. Управляющие марковскими процессами дифференциальные "уравнения Колмогорова", строго и во всей широте математически обоснованные, содержали в себе в качестве частных случаев все те уравнения (Смолуховского, Чэпмена, Фоккера-Планка и др.), которые до тех пор кустарно, без достаточного основания и четкого выяснения лежащих в их основе предпосылок выводились и применялись физиками по отдельным поводам.

В теории связи "уравнения Колмогорова" позволяют по стохастическим дифференциальным уравнениям, описывающим процесс, протекающий в исследуемой системе обработки сигналов (в общем случае нелинейной), найти распределение вероятности перехода этого процесса из состояния в момент времени t в другое состояние в момент времени s > t.

В статистическую радиотехнику эти уравнения, по-видимому, были впервые введены одним из крупнейших советских ученых Р. Л. Стратоновичем.

В 40-х годах в радиотехнических системах начинают применяться нелинейные следящие устройства, работающие при  действии флуктуационных помех. Одна из важнейших проблем, возникающих при конструировании таких систем, - срыв слежения. Явления срыва слежения наблюдаются, например, в системах автоподстройки частоты и фазы, которые широко применяются в современной радиотехнике, в том числе и в устройствах приема сигналов с частотной модуляцией со сниженным порогом. Разработанный Колмогоровым математический аппарат оказывается адекватным тем сложным процессам, протекающим в следящих устройствах, и он начинает широко применяться для их анализа.

С развитием спутниковых и тропосферных систем связи в 60-х годах возросла актуальность повышения помехоустойчивости приема сигналов с частотной модуляцией. Широко применялись следящие демодуляторы: синхронно-фазовый детектор, демодулятор  с обратной связью по частоте, следящий гетеродин и т. д. Теория помехозащищенности основных типов следящих демодуляторов, основанная на применении теории марковских случайных процессов и уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, получила развитие в конце 60-х - начале 70-х годов.

Важнейший раздел теории связи - теория оптимальной линейной фильтрации, т. е. выделение полезного сигнала  из смеси сигнала и шума, поступающей  на вход линейного фильтра. Теория позволяет  синтезировать оптимальный линейный фильтр так, чтобы на его выходе сигнал воспроизводился с минимальной ошибкой. Применяется теория в задачах, связанных с созданием помехоустойчивых систем приема сигналов. При этом должно учитываться поведение смеси принятого сигнала и шума в прошлом, а также их статистические характеристики. Назначением оптимального фильтра является зачастую предсказание полезного сигнала (его экстраполяция) либо оценка его производной или интеграла по времени, а в общем случае на выходе оптимального фильтра должен воспроизводиться (с минимальной среднеквадратичной ошибкой) заданный линейный функционал от полезного сигнала.

В 1941 году Колмогоров опубликовал  фундаментальную математическую работу "Интерполирование и экстраполирование  стационарных случайных последовательностей", которая заложила математические основы теории оптимальной линейной фильтрации. Краткие ее тезисы были опубликованы в "Докладах" Французской академии наук еще в 1939 году. В США аналогичные идеи были разработаны во время Второй мировой войны американским ученым Норбертом Винером. В 1949 году секретный отчет о результатах выполненных им исследований был рассекречен и издан в виде монографии "Интерполяция, экстраполяция и сглаживание стационарных временных рядов".

Выдающиеся ученые современности  академик А. Н. Колмогоров и Норберт  Винер - авторы основных положений теории оптимальной линейной фильтрации, заложившей фундамент современной теории связи.

Большое значение для теории связи  имели работы Колмогорова по теории информации, к проблемам которой  он обратился в начале 50-х годов. Основные идеи были изложены в 1956 году в докладе "Теория передачи информации" на сессии АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. Математический фундамент теории был заложен в работах Колмогорова, Гельфанда, Яглома и Хинчина.

А. Н. Колмогоров показал, что наряду с вероятностным шенноновским подходом к определению количества информации возможны и во многих случаях более эффективны комбинаторный и алгоритмический подходы. Благодаря этому был создан новый раздел науки - алгоритмическая теория информации.

 

3. Список литературы

1. Н. Горбачёв.  Что значит быть математиком?  «Смена», 1978, № 12, ст. 46

 

2. А. Б. Сосинский.  Беседа с А. Н. Колмогоровым.  «Квант», 1983 г., № 4, ст. 5.

 

3. П. А. Ливанский.  Математические таланты.  «Квант», 1985 г., № 7, ст. 9.

 

4. Статья, подготовленная к 95-летию  А.Н. Колмогорова. МГУ, 2008г.

 

5. Марк Быховский. Академик Колмогоров - HOMO UNIVERSALES.

 

Дополнение

1 Мысли А.Н. Колмогорова

 

1. "...скажу только, что по собственному опыту знаю, что наша человеческая любовь происходит по образцу некоторого индуктивного процесса: любовь к данному "избранному" человеку, в котором действительно на каждую чёрточку его существа радуешься и в котором всякое проявление красоты человеческой воспринимаешь, порождает такую большую радость и освобождает такую большую "энергию любви", что эта радость ни во что другое не может перейти, как любовь ко всем людям и ко всему миру - пусть несовершенную, но такую, на которую данный человек способен. А этот проблеск универсальной любви даёт новый толчок к любви индивидуальной и т. д. ...если люди научатся радоваться, они сами собой научатся и любить, потому что невозможно радоваться всей душой и в то же время хоть к кому-нибудь относиться не по-человечески. А радоваться легче всего и проще всего, имея "избранного друга" 
   
2. "...человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют слияние, рассеиваемое всеми другими, но связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трёх...направлениях. И возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть ЧУДОМ"
3. Я, во всяком случае, жил всегда руководствуясь тем тезисом, что ИСТИНА – главное, что наш долг – находить и отстаивать её, независимо от того, приятна она или неприятна.  Во всяком случае, в своей сознательной жизни я всегда исходил из таких положений.

2 высказывания оБ А.Н. Колмогорове

 

1. "...Колмогоров всегда предполагал наличие у собеседника или слушателя интеллекта, равного колмогоровскому... он считал, что весь мир населен Колмогоровыми, потому его лекции для школьников были доступны скорее старшекурсникам университета. Его лекции для аспирантов с интересом и пользой для себя слушали доктора наук, доклады для докторов наук не понимал никто, кроме самого докладчика" В. А. Успенский.