Аффинные преобразования на плоскости

x′e₁′+y′e₂′= xe₁+ye₂−(x₀e₁+y₀e₂) (4); т.к. в условии заданы параметры, определяющие координаты новых базисных векторов через старый базис, получим для новых базисных векторов следующие векторные равенства:

е₁′(С₁₁,С₁₂)_R=> е₁′= С₁₁e₁+С₂₁e₂;

е₂′(С₁₂,С₂₂)_R=> е₂′= С₁₂e₁+С₂₂e₂;             (5)

Подставим (5) в  левую часть (4) и сгруппируем относительно базисных векторов е₁ и е₂.

x′(C₁₁e₁+C₂₁e₂)+y′(C₁₂e₁+C₂₂e₂)- xe₁-xe₂+x₀e₁-ye₂+x₀e₁+y₀e₂=0. 
         (x′C₁₁+ y′C₁₂e₁-x+x₀)e₁+ (x′C₂₁+y′ C₂₂-y+y₀)e₂=0.

Т.к. (е_1,е₂) образуют базис, то это линейнонезависимая система, для которой последнее векторное равенство выполняется при условии, что все коэффициенты левой части равны нулю, т.е. при условии  

(6);

 (6)- формулы перехода от старой системы R к новой системе R′ при переменных x′ и y′.

Т.к столбцы  определителя- это координаты базисных векторов е₁′ и е₂′, то данный определитель никогда не обращается в ноль, т.е. система (6) однозначно разрешима относительно переменных х′ и у′, что всегда позволяет найти формулу  обратного перехода  от R′ к R.

Для формул (6) существуют два частных случая

1. замена базиса;
2. перенос начала.

1.Система R′, полученная из системы R путем замены базиса с сохранением того же начала координат R={О, (е₁, е₂)}→ R′={О, (е₁′, е₂′)}, т.е. О′(х₀,у₀)=О(0,0)=>х₀=у₀=0,тогда формулы замены базиса примут вид: 

(7)

2. Пусть система  R′ получена из R путем переноса начала из т.О в точку О′ с сохранением того же базиса: 
R={О, (е₁, е₂)}→ R′={О′, (е₁, е₂)}=> е₁′(1,0), е₂′(0,1),т.о. формулы примут вид:

(8).

Заключение:

Литература: