РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ УЗЛОВ АППАРАТУРЫ СВЯЗИ

 

3 Расчёт электрических  фильтров 

   Для выделения колебаний заданных частот необходимо рассчитать полосовые фильтры, у частотных характеристик которых центры эффективного пропускания совпадали бы с этими частотами.

В качестве полосовых фильтров используются полиномиальные фильтры Чебышева. Каждый фильтр выделяет свою гармонику. Поскольку гармоники сигнала на выходе нелинейного преобразователя достаточно далеко разнесены по частоте, порядок фильтра получается невысоким. Частоты соседних гармоник должны попадать в полосу непропускания фильтра. Характеристика ослабления фильтра должна обладать геометрической симметрией относительно выделяемой гармоники.

Расчет  полосового фильтра обычно сводят к  расчету НЧ-прототипа.

Технические требования к фильтру: N=3 – номер выделяемой гармоники, U_{m вых}=12В – выходное напряжения фильтра, ΔА=0,2дБ – неравномерность ослабления в полосе пропускания (ослабление полезных гармоник), А_min=15дБ – ослабление в полосе непропускания (степень подавления мешающих гармоник), U_пит.ф=15В – напряжение питания операционного усилителя. Частота третьей гармоники при частоте генерируемых колебаний 3 кГц равна 9 кГц, следовательно, f₀=9 кГц.

Для определения  нормированной частоты НЧ – прототипа - Ω₃, соответствующей границе полосы эффективного непропускания (в дальнейшем ПЭН), необходимо воспользоваться зависимостями D=F(А_min). При этом вначале по заданным значениям ΔА и А_min определяем вспомогательную функцию D=20, а затем, задаваясь приемлемым значением порядка фильтра-прототипа n=3, для полученного значения D определяем Ω₃=1,5.

Рассчитаем  граничные частоты полосы эффективного пропускания (в дальнейшем ПЭП) и ПЭН. 
 

Зная соотношение  для ω₀:

       

То, задавшись  одной из неизвестных частот, например, f₃=12 кГц, то есть ω₃=2πf₃=75360 рад/с, найдем ω′₃: 

Учитывая соотношение: 

Найдем ширину полосы эффективного пропускания –  Δω: 
 

Получаем систему  уравнений: 
 

       Решая данную систему, получаем: 

       ω₂=68568,5 рад/с

       ω′₂=46588,5 рад/с 

       Таким образом, граничные частоты ПЭП  и ПЭН принимают значения: 
 
 
 

   f₂ = 10,92 кГц (ω₂ = 68568,5 рад/с);

   f'₂ = 7,42 кГц (ω'₂ = 46588,5 рад/с);

   f₃ =12 кГц (ω₃ = 75360 рад/с);

   f'₃ =6,05 кГц (ω'₃ = 42390 рад/с). 

    Находим полосы передаточной функции НЧ –  прототипа:

    S_1,2 = -0,814634; S_3,4 = -0,407317±j1,11701

        Денормирование  и конструирование передаточной функции искомого ПФ осуществляется в два этапа. На первом этапе находим полюсы передаточной функции полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа. Для этого воспользуемся соотношением: 

где      Δω/2=10990 рад/с;

ω₀²=3,19∙10⁹ (рад/с)²;

σ_i+jΩ_i – i-ый полюс передаточной функции НЧ-прототипа.

Учитывая, что  одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции полосового фильтра, рассчитаем полюса передаточной функции.

    

      

Результаты расчетов полюсов передаточной функции сведем в таблицу: 

 

На втором этапе передаточная функция полосового фильтра может быть представлена в виде произведения трёх сомножителей второго порядка: 

    

 

    где 

 

    Коэффициенты  при р в знаменателях сомножителей а_i = 2α_i, а свободные члены а_0i = α_i² + ω_i². Их значения сведем в таблицу: 

 

Тогда передаточная функция искомого ПФ запишется: 

 

    Для реализации полученной передаточной функции  необходимо выбрать тип звеньев, для чего найдем вначале добротности полюсов соответствующих сомножителей, используя соотношение:

    

 

В результате расчётов получим Q₁ = 3,15; Q₂ = 4,17 Q₃ = 9,35 

    

    

По значениям  Q выбираем схему, передаточная функция которой выглядит следующим образом:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Рисунок 12 – Схема для реализации сомножителей

      

Для расчета  элементов звена, соответствующего первому сомножителю Н(р), составим систему уравнений: 
 

       Зададимся C₆=C₇=C=5*10^-9, тогда R₁=R₂=1/ω_пС, где ω_п – частота полюса, которая определяется по формуле: 
 

     рад/c

    Итак,

            

Решая систему относительно элементов  R₃, R₄, R₅ получаем

R₅=11,2 кОм, R₃=12 кОм, R₄=1,1 кОм.

Поступая  аналогичным образом, находим элементы второго и третьего звена фильтра. Результаты вычислений сводим в таблицу: 

 

Рисунок 13 – Схема полосового фильтра 

Для расчета  АЧХ и ослабления фильтра в  выражении Н(р) осуществим замену р = jω, тогда

     

    

 

Ослабление  фильтра связано с АЧХ выражением: .

    Найдем  частоты ПЭП, при которых А  и АЧХ принимают максимальные и минимальные значения. Для характеристик  НЧ-прототипа имеем при n=3: Ω_min1 = 0; Ω_max1 = 0,5; Ω_min2 = 0,866; Ω_max2 = 1.

    Для нахождения соответствующих частот характеристики ПФ воспользуемся соотношениями:

    

    

    ω_min1 = 47759 рад/с;

    ω_max1 = 51251,7 рад/с;

    ω_min2 = 66793,6 рад/с;

    ω_max2 = 62241,7 рад/с.

    Результаты расчетов АЧХ и ослабления отдельных звеньев и всего фильтра сводим в таблицу: