Моделирование алгоритма маршрутизации

2.3 Два варианта модели прямого пучка каналов МТС

Первая (базовая) модель характеризуется наличием нескольких этапов в процессе установления соединения, после неудачного завершения каждого из которых абонент может повторить вызов. В результате выделяются три группы абонентов, повторяющих вызов соответственно из-за отказа станции после набора «8», после всех видов блокировок (включая занятость вызываемого абонента) н после неответа вызываемого абонента.

Во второй модели учитывается зависимость функций настойчивости абонента после всех видов отказов от номера неудачной попытки соединения, а также зависимость вероятности перехода вызова с одного этапа обслуживания на другой от того, является ли рассматриваемый вызов первичным или повторным. Такое уточнение поведения абонента после получения отказа в обслуживании приведет к тому, что в упрощенной модели группы повторяющих вызов абонентов разделятся на подгруппы в зависимости от причины отказа в предыдущих попытках. Отметим, что такое разделение свойств характерно не только для модели с ПВ, призванной отразить прохождение вызова по междугородному телефонному тракту, но и вообще для моделей с учетом эффекта повторных вызовов.

Приближенный алгоритм расчета характеристик модели, основывается на использовании формулы Эрланга. При этом применяется метод, состоящий в замене всех потоков ПВ на пуассоновский и переходе от многоэтапного обслуживания вызова к одноэтапному. Неизвестный параметр дополнительного потока вызовов и нового времени обслуживания находится из решения неявных уравнений, получаемых из законов сохранения, связывающих основные вероятностные характеристики модели.

При нахождении оценок вероятностных характеристик исследуемой модели прямого пучка МТС предполагается, что поток ПВ является пуассоновским. В областях малой и большой нагрузок, а также для больших пучков, это допущение оказывается вполне приемлемым. Дальнейшее уточнение оценок, естественно, должно идти по пути устранения причин нарушающих эту «пуассоновость».

Рассмотрим случай, когда абоненты в последней попытке соединения получили отказ из-за занятости всех линий пучка. Очевидно, что следующие попытки соединения таких абонентов с большей, чем для первичной попытки, вероятностью попадут в состояние занятости всех линий пучка. Это свойство модели как раз и нарушает нашу гипотезу о «пуассоновости» суммарного потока вызовов, поскольку при ее выполнении все состояния системы для поступающих потоков ПВ равновероятны.

Можно уточнить предыдущий приближенный алгоритм расчета, сохранив в упрощенной модели абонентов, повторяющих вызов из-за занятости всех доступных линий, и заменив на пуассоновские все оставшиеся потоки ПВ. Для этого необходимо провести уточнение процесса взаимодействия абонента и обслуживающей системы, позволяющее выделить среди абонентов, повторяющих вызовов, тех, кто получил в последней попытке отказ из-за занятости доступных линий.

Такой алгоритм расчета характеристик модели примерно на порядок уточняет оценку этих характеристик по сравнению с предыдущим алгоритмом, однако его применение требует больших затрат машинного времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 РАСЧЕТ УТОЧНЕННОЙ МОДЕЛИ ПРЯМОГО ПУЧКА МЕЖДУГОРОДНОЙ ТЕЛЕФОННОЙ СЕТИ

3.1 Базовая модель

На полнодоступный пучок из υ линий, являющихся аналогом прямого пучка каналов МТС, поступает пуассоновский поток первичных вызовов интенсивности λ. Поступивший вызов занимает произвольную свободную линию на первый этап установления соединения, распределенный экспоненциально с параметром α1. После завершения первого этапа с вероятностью p1 вызов занимает линию на второй этап установления соединения или с вероятностью (1-p1) получает отказ. Длительность второго этапа имеет экспоненциальное распределение с параметром α2. После завершения второго этапа с вероятностью p2p3 вызов продолжает занимать линию на третий и четвертый этапы, длительностью которого будет иметь экспоненциальное распределение с параметрами соответственно α3´,  α4, а с вероятностю p2 (1-p3) вызов продолжает занимать линию только на третий этап, длительность которого будет иметь экспоненциальное распределение с параметром α3´,  и после его завершения вызов освободит линию. Так описывается процесс занятия линии вызовом. Перейдем к образованию источников повторных вызовов (ИПВ).

Первичный или повторный вызовы при поступлении в систему с вероятностью a1 получают отказ до попадания на вход пучка. Это событие с вероятностью с1 приводит к появлению ИПВ первого типа, от которого следующий повторный вызов поступит через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром μ1. Пройдя первый барьер, первичный или повторный вызовы до попадания на вход пучка могут опять получить отказ уже с вероятностью a2. В этом случае следующий повторный вызов поступит через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром μ2. Далее ИПВ второго типа будет образовываться во всех случаях, когда абонент объясняет отказ в обслуживании блокировкой. а именно: это событие с вероятностями H1 и H2 (для первичной и повторной попытки) происходит, если заняты все каналы пучка, а также после неудачного завершения соответственно первого и второго этапа обслуживания с вероятностями z1 и z2.

ИIIВ третьего типа образуется после пеудачного завершения третьего этапа установления соединения. В этом случае с вероятностью z3  абонент повторит вызов через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром μ3.

Здесь напомним только, что; а1 — вероятность получить отказ после набора «8», а2 - после полного набора номера, но до попадания на канал; 1/α1- среднее время прохождения вызова по ГТС вызываемого города; 1/α2 – среднее время прохождения вызова по ГТС вызываемого города до вызываемого абонента, (1-р2) – вероятность того, что вызываемый абонент занят, (1-р3) – вероятность того, что вызываемый абонент не отвечает; 1/α3´ – среднее время слушания сигнала контроля посылки вызова, в случае когда разговор не состоится, 1/α3´´ - то же, но в случае, если разговор состоится, и 1/α4 – среднее время разговора.

Введем обозначения: jn(t), n=1,2,3, - число ИПВ n–го типа, повторяющих вызов в момент времени t; im(t) - число линий, занятых в момент времени t на m-й этап обслуживания; i3´´(t) - число линий, занятых в момент времени t на третий этап обслуживания, переходящего затем с вероятностью, равной единице, на четвертый этап (разговор); i3´- число линий, занятых в момент времени t на третий этап обслуживания, после завершения которого линия освобождается. Функционирование модели описывается марковским процессом

ξ(t) = { j1 (t), j2 (t), j2 (t), i1 (t), i2 (t), i3´ (t), i3´´ (t), i4(t) }

Рассмотрим некоторые пучки утончения базовой модели. Некоторые рассуждения, предваряющие введение утонченной модели. Обсудим мотивы, которыми вызвано уточнение базовой модели. Когда говорят о сложности той или иной модели с повторными вызовами, то обычно под этим понимают число компонент в случайном процессе, описывающем ее функционирование. Это формально отражает ту точность, а скорее детальность в описании взаимодействия абонента и обслуживающей системы, которая достигнута в модели. Отметим, что детальность можно понимать как вширь, так и вглубь, когда более точно учитывается предыстория взаимодействия вызова и обслуживающей системы, началом которой является первичная попытка установить соединение. В моделях с потерями предыстории нет, все вызовы для системы первичные (новые). В обычных моделях с повторными вызовами можно проследить предысторию на один шаг назад (если вызов повторный, то в предыдущей попытке соединения он получил отказ). Приведем пример модели, когда предыстория вызова прослеживается до конца. Речь идет о системе М|М|v с (Hi μi) - настойчивым абонентом. Используя понятие предыстории взаимодействия вызова и обслуживающей системы, можно модели с повторными вызовами разбить на классы по уровню сложности, где численным выражением уровня сложности будет число предыдущих попыток соединения, результат которых известен.

Таким образом. базовая модель имеет первый уровень сложности; модель пучка с учетом функции настойчивости до m-й попытки имеет m-й уровень сложности; модель М|М|v с (Hi μi) - настойчивым абонентом имеет бесконечный уровень сложности. Переход на следующий уровень для базовой модели прямого пучка даст возможность учесть ряд дополнительных аспектов взаимодействия абонента с междугородной телефонной сетью. Их можно условно разбить на две группы: 1) учет инерции состояния вызываемого абонента, состоящей в том, что, получив отказ из-за занятости (неответа) вызываемого абонента, вызывающий абонент в следующей попытке соединения уже стбольшей вероятностью получит отказ из-за занятости (неответа) вызываемого абонента; 2) более точный учет психологического фактора. Например, теперь мы можем отразить в модели следующее свойство функции настойчивости: если абонент получил сначала отказ из-за занятости вызываемого абонента, затем из-за блокировки, то это с большей вероятностью приведет к появлению повторного вызова, чем, скажем, после получения подряд двух отказов из-за неответа. К этим свойствам можно добавить еще некоторые.

Поскольку базовая модель и так очень сложна (из-за сложности вширь, по нашему определению), то переход на второй уровень совершим только для тех повторных вызовов, причиной появления которых послужило состояние вызываемого абонента. Несмотря на это ограничение, число компонент в исследуемом марковском процессе увеличивается до 23. Поэтому, чтобы не усложнять изложение, не будем приводить подробную схему функционирования, а просто укажем направление, по которому шло обобщение базовой модели.

Схема функционирования уточненной модели. Законы сохранения. Сначала условимся о некоторых обозначениях. Входные параметры в системе вызова, снабдим индексами, отражающими предысторию отношений рассматриваемого вызова с обслуживающей системой (на две попытки назад) в случае, если первая из них по времени была вызвана состоянием вызываемого абонента. Если обозначение параметра имеет вид p…,то речь идет о вероятности перехода с этапа на этап, если H…, - о функции настойчивости, причем для H… индексы в конце (1 или 2) говорят о том, что рассматривается соответственно первичная или повторная попытка. Состояние вызываемого абонента в попытке соединения обозначим НО (неответ) или НЗ (номер занят). Кроме того, буквой Б будем в случае необходимости обозначать блокировку, а Б´ - блокировку, не вызванную занятостью вызываемого абонента. Если в обозначении нет изменений указанного типа, то смысл параметра или характеристики остается тем же, что и в базовой модели.

Рассмотрим некоторые примеры: вероятность (1-рНЗНЗ) – это вероятность получить зависимость вызываемого абонента для вызова, имевшего отказ в предыдущей попытке соединения из-зи занятости вызываемого абонента; (1-рНЗНО) – вероятность оплучить неответ вызываемого абонента для вызова, получившего отказ из-за занятости вызываемого абоннета в предыдущей попытке соединения; ННОБ – натсойчивость абонента в случае, когда он сначала получил отказ из-за неответа вызываемого абонента, а затем из-за блокировки; ННО1 – настойчивость абонента в случае, когда он в первичной попытке получил отказ из-зи неответа вызываемого абонента и так далее.

Результат взаимодействия абонента, получившего k отказов, и обслуживающей системы для модели исследуемого типа можно записать в виде вектора (Θ1, Θ2, Θ3,..., Θk), где Θi – принимает значения 8, Б´, НЗ, НО. Здесь Θi – условный символ для обозначения причины появления повторного вызова, а i – номер неудачной попытки соединения i=1, 2,..., k. Чтобы упростить запись окончательных результатов, сделаем несколько предположений. Как было условлено ранее, в предыстории взаимодействия вызова и обслуживающей системы будем фиксировать лишь отказы после набора «8» и всех видов блокировок (кроме НЗ). Это приведет к тому, что объединяются в одну группу абоненты, имеющие, например, предыстории вида (НЗ, Б´, Б´, Б´) = (НЗ) = (НЗ, 8, 8, 8, Б´, Б´) = (НЗ, НЗ).

Перейдем к определению компонент  марковского процесса, описывающего функционирование модели. Чтобы сохранить изложение материала, проследим лишь, какие изменения произойдут в определении аналогичных компонент базовой модели. Число ИПВ 1-го и 2-го типов разделится на три составляющих. Обозначим {Б´, 8} любую конечную комбинацию символов Б´, 8. тогда компоненты марковского процесса, описывающего функционирование модели, можно определить следующим образом: jНЗ1(t) - …(…, НЗ, {Б´, 8}, 8); jНО1(t) - …(…, НЗ, {Б´, 8}, 8); j2(t) - …({Б´, 8}, Б´); jНЗ2(t) - …(..., НЗ,{Б´, 8}, Б´), (..., НЗ, {Б´, 8}, НЗ), ({Б´, 8}, НЗ), (..., НО,{Б´, 8}, НЗ); jНО2(t) - …(..., НО,{Б´, 8}, Б´).

Число повторяющих вызовы абонентов 3-го типа остается без изменения. Рассмотрим занятость линий на этапы обслуживания. Число линий, занятых на тот или иной этап, разделится на четыре состовляющих (например, для 1-го типа):

iП1(t) – число линий, занятых в момент времени t, на 1-й этап обслуживания в первичной попытке соединения;

iПВ1(t) – число линий, занятых в момент времени t, на 1-й этап обслуживания в повторной попытке, не вызванной состоянием вызываемого абонента;

iНЗ1(t) – число линий, занятых в момент времени t, на 1-й этап обслуживания в повторной попытке, вызванной занятостью вызываемого абонента;

iНО1(t) – число линий, занятых в момент времени t, на 1-й этап обслуживания в повторной попытке, вызванной неответом вызываемого абонента, и так далее.

Обычным образом для данной модели выписывается марковский процесс, описывающий ее функционирование, состовляется система уравнений статистического равновесия и вводятся основные вероятностные характеристики. Чтобы не загромождать изложение, ограничимся только записью законов сохранения:

J1µ1 = a1c1(λ + J1µ1 + J2µ2);                                                                           (3.1)

JНЗ1µ1 = a1c1(JНЗ1µ1 + JНЗ2µ2);

JНО1µ1 = a1c1(JНО1µ1 + J2µ2 + JНО2µ2);

J2µ2 = (1 - а1) (а2 (λH1 + J1µ1H2 + J2µ2H2) + (1 - а1)(λπH1 + J1´µ1H2 + J2´µ2H2)) + ІП1α1 (1 - p1) H1 + ІПΒ1α1(1 – p1) H2;

JНЗ2µ2 = (1 - а1) (а2( JНЗ2µ1+ JНЗ2µ2) + (1 - а1) (J´НЗ2µ1+ J´НЗ2µ2))H2 + JНЗ1α1(1 - p1) H2 + JΠ1α1(1 – p1) H1 + JΠΒ2α2(1 – p2) H2 + JНЗ2α2(1 – pНЗНЗ) H2 + JНО2α2(1 – pНОНЗ) HНОБ;

JНО2µ2 = (1 - а1) (а2( JНО1µ1+ JНО2µ2 + J3µ3) + (1 - а1) (J´НO1µ1 + J´НO2µ2 + J´3µ3)) HНОБ + JHO1α1(1 – p1) HНОБ;

J3µ3 = I´Π3α´3HНО1 + I´ΠВ3α´3HНО2 + I´НЗ3α´3HБНО + I´НО3α´3HНОНО;

IΠ1α1р1 = IΠ2α2; IΠ2α2р2р3 = I´´Π3α´´3;

IΠВ1α1р1 = IΠВ2α2; IΠВ2α2р2р3 = I´´ΠВ3α´´3;

IΠВ2α2р2 (1 - р3) = I´ΠВ3α´3; I´´ΠВ3α´´3 = IΠВ4α4;

IНЗ1α1р1 = IНЗ2α2; IНЗ2α2рНЗНЗрНЗНО = I´´НЗ3α´´3;

IНЗ2α2рНЗНЗ(1 - рНЗНО) = I´НЗ3α´3; I´НЗ3α´3 = IНЗ4α4

IНО1α1р1 = IНО2α2; IНО2α2рНОНЗрНОНО = I´´НО2α´´3;