Задача потребительского выбора

Решение. Как показано выше, данную задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум:

при условиях

то система уравнений (5) и (6) для  укороченной подозрительной точки  функции Лагранжа имеет вид:

 

 

 

 

Из первого условия следует, что х₀р₁=у₀р₂  , т.е. количество денег, затраченных на оба товара, должно быть одинаковым. Подставив последнюю формулу во второе уравнение системы, получим

Таким образом расход потребителя  на каждый товар составляет половину его общего дохода. Функции спроса на первый и второй товар приобретают вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задача потребительского выбора  для произвольного числа товаров

Для произвольного числа товаров n задача потребительского выбора

формулируется следующим образом:

 

при условиях

 

 

 

функция полезности потребителя

бюджетное ограничение

цены на первый, на второй и т.д. товары

количество приобретенных товаров  первого,второго и т.д.типов

Так же, как и для случая двух переменных, эту задачу математического  программирования можно заменить задачей на условный экстремум:

 

при условиях

(7)

Функция Лагранжа имеет вид 

Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции  Лагранжа:

 

(8)

 

 

 

Умножим уравнение под номером 

а уравнение под номером 

и вычтем одно из другого. В результате получим

 

 

 

Перепишем последнее выражение  в виде

 

 

 

Таким образом, в точке оптимума отношение предельных полезностей  любых двух товаров равно отношению  их рыночных цен.

Пример(модель Стоуна). Функция полезности потребителя(функция Стоуна) для n товаров имеет вид

 

Бюджетное ограничение I и цены на товары

связаны соотношением

 

 

номер товара

минимально необходимое количество

товара, которое приобретается  в любом случае

показатель относительной ценности товара для потребителя

Определить функции спроса на товары.

Решение. Как показано выше данную задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум

 

 

при условиях

 

 

 

Функция Лагранжа имеет вид

Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа:

(9)

 

(10)

то любое из слагаемых первого  уравнения можно записать в виде             (11)

 

Умножим каждое из уравнений на

и просуммируем их

 

 

Отсюда находим, учитывая, что

 

 

 

Подставив последнее выражение  в (11) получим функцию спроса

 

(12)

 

Из (12) следует, что спрос на j-й товар равен минимально необходимому количеству j-й товара плюс количество, пропорциональное показателю относительной ценности этого товара для потребителя.

Пример. В условиях примера (2) положить

Определить функцию спроса и  эластичность спроса по цене и доходу.

Решение. Функцию спроса находим  из формулы (12), подставив в нее 

 

 

Отсюда следует, что для определения  спроса на j-й товар надо доход разделить на n равных частей, а результат — на цену  j-го товара.

Эластичность спроса по цене определим  по формуле

Эластичность спроса по доходу

Таким образом, каждый товар в модели данного примера является нормальным и ценным. Спрос растет неограниченно  с неограниченным увеличением дохода. Поэтому рассматриваемые товары можно отнести к предметам роскоши.

 

 

 

 

5. Уравнение Слуцкого.

Решением задачи потребительского выбора (7) является оптимальный потребительский  набор  n  продуктов, определяемый точкой в n-мерном пространстве с координатами

Эту точку находят, решая систему уравнений (8). Изменение спроса потребителя при изменении цены на один из товаров определяется уравнением Слуцкого.

Пусть цена на товар под номером  n  изменилась на бесконечно малую величину dp  . Тогда уравнение Слуцкого принимает вид

 

Производная

 

описывает изменение спроса при  увеличении цены на n-й товар при компенсации дохода. При этом увеличение цены на величину

компенсируется увеличением дохода на

(13)

 

Производная

характеризует изменение спроса при  изменении дохода на величину

(14)

 

Товар j называется ценным, если при увеличении дохода спрос на него растет, и малоценным, если при увеличении дохода спрос на него падает. Для ценного товара имеем

Для малоценного 

 

Согласно (13) товар под номером n, на который повысилась цена, является малоценным. Показана справедливость соотношения

 

 

Отсюда следует , что ценные товары обязательно существуют.

Спрос на ценный товар падает при  увеличении цены на него, что непосредственно  следует из уравнения Слуцкого:

 

Согласно (13) обязательно найдется такой товар j, для которого

Иными словами, уменьшение спроса на n-й товар 

приводит к увеличению спроса на j-й товар. 

Такие товары называются взаимозаменяемыми(например, животное и растительные масла).

Товары m и n , для которых 

образуют взаимодополняемую пару. Например, компенсируемое увеличение цены на бензин приводит к падению спроса на бензин и падению спроса на автомобили.

Функция спроса х˟(р, L) обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой продукт n спрос на остальные продукты не убывает, т.е.

 

 

Функция спроса х˟(р, L) обладает свойством сильной валовой заменимости, если

 

 

Пример. Функция полезности потребителя  для n товаров имеет вид 

 

где

• номер товара

Бюджетное ограничение I и цены на товары

связаны соотношением

 

Решение. Данную задачу математического  программирования можно заменить задачей  на условный экстремум:

 

 

при условиях

 

 

Функцию Лагранжа запишем в виде

Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа:                                       

          (15)

 

 

(16)

 

Из уравнения (16) находим 

 

(17)

Подставив выражение (17) в (16), получим 

 

Отсюда находим 

 

 

Подставив полученное выражение в (17), найдем функцию спроса

 

 

 

 

Пусть на любой товар, которому присвоен номер n, повышается цена на бесконечно малую величину

Найдем производные 

 

Так как эти производные больше нуля, то функция спроса на товары обладает свойством сильной валовой заменимости.

 

Заключение

 

Проделав данную курсовую работу, я реализовала ее главную цель -изучила задачу потребительского выбора.

Задачи, стоящие передо мной в процессе выполнения работы, были решены качественно, я всесторонне рассмотрела задачу потребительского выбора, ее составные части, дала их краткую характеристику;подвела итоги проделанной работы.

В результате чего научилась решать задачу потребительского выбора, пользоваться уравнением Слуцкого, совершать оптимизацию  функции полезности, изучила линии  безразличия. Данный материал будет очень полезен в моей дальнейшей деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

Кузнецов, Б.Т. Математика: учебник/Б.Т. Кузнецов — Москва: ЮНИТИ,2004.