Задача по "Экономико-математическое моделирование"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  Вариант № . 

      Нефтеперерабатывающий завод производит в месяц 1500000 л  алкилата, 1200000 л крекинг - бензина  и 1300000 л изопентола. В результате смешения этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А  и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 усл. ед.. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, приносящий предприятию максимальную прибыль.

      Решите  задачу графическим и симплекс-методом. Выполните постановку и найдите решение двойственной задачи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Графический метод  решения 

 

х₁ + 3х₂ < 1500,    

х₁ + х₂ < 1200,  

х₁ + 2х₂ < 1300,         

х₁ > 0, х₂ > 0. 

Целевая функция:

f = 90х₁ + 120х₂ → max. 

Строим  прямые

х₁ + 3х₂ = 1500,     1

х₁ + х₂ = 1200,       2

х₁ +2 х₂ = 1300.     3

                    

Строим  направляющий вектор q {90, 120}. 

Строим  прямую, перпендикулярную направляющему  вектору и проходящую через область допустимых решений. 

Находим оптимальный план:

х₁ + х₂ = 1200,           х₁ = 1100,

х₁ +2 х₂ = 1300.         х₂ = 100. 

Максимальная  прибыль допускается при выпуске 1100 бензина А и 100 бензина Б. 

Оптимальное значение целевой функции:

f = 90х₁ + 120х₂, f = 90∙1100 + 120∙100 = 111000. 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

2. Симплекс-метод. 
 

 
 

Ограничения:

х₁ + 3х₂ < 1500,    

х₁ + х₂ < 1200,  

х₁ + 2х₂ < 1300,         

х₁ > 0, х₂ > 0. 

Целевая функция: f = 90х₁ + 120х₂ → max, 

Введем дополнительные переменные у₁, у₂, у₃.

1х₁ + 3х₂ + у₁ = 1500,    

1х₁ + 1х₂ + у₂ = 1200,      

1х₁ + 2х₂ + у₃ = 1300,

х₁ > 0, х₂ > 0,

у₁ > 0, у₂ > 0, у₃ > 0. 

у₁ = 1500 – (1х₁ + 3х₂),    

у₂ = 1200 – (1х₁ + 1х₂),      

у₃ = 1300 – (1х₁ + 2х₂),

х₁ > 0, х₂ > 0,

у₁ > 0, у₂ > 0, у₃ > 0.

f = 0 – (-90х₁ – 120х₂) → max. 

Составим симплекс таблицу:

Так как  в столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке  есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-120). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу 

Так как  в столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение. Так как в  индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-50). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 

Пересчитаем таблицу 

Так как  в столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение. Так как в  индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-60). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 
 

Пересчитаем таблицу 

Найдено оптимальное решение. 

 

3. Постановка и решение двойственной задачи. 

Основная  задача:

х₁ + 3х₂ < 1500,   

х₁ + х₂ < 1200,  

х₁ + 2х₂ < 1300,         

х₁ > 0, х₂ > 0. 

Целевая функция:

f = 90х₁ + 120х₂ → max. 

Целевая функция двойственной задачи:

g = 1500y₁ + 1200y₂ + 1300y₃ → min.  

                        у₁

 1   1   1    ∙     у₂

 3  1    2          у₃

                                 

1у₁+ 1у₂ + 1у₃ > 90,

3у₁+ 1у₂ + 2у₃ > 120. 

Переход от неравенства  к равенству:

х₁ + 3х₂ + х₃ = 1500,    

х₁ + х₂ + х₄ = 1200,  

х₁ + 2х₂ + х₅ = 1300,         

х_i > 0. 

1у₁+ 1у₂ + 1у₃ - у₄ = 90,

3у₁+ 1у₂ + 2у₃ - у₅ = 120.

у_i > 0.