Ряды предпочтительных чисел

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее важных направлений стандартизации является разработка параметрических стандартов, в которых устанавливаются ряды параметров, характеризующих мощность, производительность, грузоподъемность и т.д. различных изделий. Создание и использование изделий будет наиболее успешным только в том случае, если параметры их будут согласованы между собой.  Для этого при выборе параметров необходимо придерживаться определенных, строго обоснованных рядов чисел, которые подчиняются определенной математической закономерности. Такими рядами являются ряды предпочтительных чисел, о чем и будет рассказано в данной работе.

 

1. Построение рядов предпочтительных чисел

Система предпочтительных чисел является теоретической базой развития  стандартизации. Применение предпочтительных чисел  позволяет наилучшим образом осуществлять согласование параметров и размеров отдельно взятого изделия со всеми связанными с ними видами продукции: комплектующих изделий с присоединительными и посадочными местами в оборудовании. В приборостроении и машиностроении предпочтительные числа приняты  в основу назначения линейных и угловых  размеров, классов точности, размеров радиусов, канавок, уступов, параметров шероховатости поверхности и т.д.. Благодаря этому значительно возрастает уровень взаимозаменяемости, сокращается номенклатура режущего измерительного инструмента, калибров, штампов, пресс-форм, приспособлений, достигается более экономичный раскрой материалов. В результате повышается качество продукции и снижается себестоимость.

Более того, на базе предпочтительных чисел строятся так называемые параметрические стандарты, в которых по единой закономерности стандартизируемых величин выбираются не только геометрические характеристики, а другие более сложные, такие как мощность, частота вращения, давление, напряжение электрического тока, грузоподъемность и т.д.. Это предотвращает производство неоправданно большой номенклатуры оборудования. Согласование параметров и размеров на базе предпочтительных чисел позволяет увязать между собой  различные отрасли промышленности. Если проектирование новых приборов, машин ведется по всему параметрическому ряду, то при этом создаются благоприятные условия для широкой унификации деталей и узлов, для развития предметной и по детальной специализации и для облегчения эксплуатации и ремонта оборудования, а также удобнее решается проблема запасных частей.

Смысл данной системы заключается в выборе лишь тех значений размеров, параметров и характеристик, которые подчиняются строго определенной математической закономерности, а не любых значений, получаемых в результате расчетов, проектирования или принимаемых в порядке волевого решения.

Эти числа называются предпочтительными, потому что они рекомендуются для предпочтительного применения при конструировании и расчетах, при стандартизации и унификации.

 

2. Свойства рядов предпочтительных чисел

Ряды предпочтительных чисел  построены по правилу геометрической прогрессии. Она представляет собой ряд чисел с постоянным отношением двух соседних чисел – знаменателем прогрессии Q. Каждый член прогрессии является произведением предыдущего члена на Q.

Ряды предпочтительных чисел обладают свойствами геометрической прогрессии:

− отношение двух смежных членов всегда постоянно  и равно знаменателю прогрессии;

− произведение или частное от деления любых членов прогрессии всегда является ее членом;

− целая положительная или отрицательная степень любого члена прогрессии всегда является членом этой прогрессии.

Ряды предпочтительных чисел не ограничиваются в обоих направлениях, при этом числа менее 1,0 и более 10 получают делением или умножением на 10, 100 и т.д. За исходный ряд принимают члены прогрессии, расположенные в интервале от 1,0 до 10.

Число 1,0 обязательно имеющееся в ряду, не входит в десятичный интервал 1,0<a≤10. Его следует рассматривать как завершающее число предыдущего десятичного интервала 0,1<а≤1,0.

Порядковые номера чисел представляют собой основание ряда, умноженное на десятичный логарифм числа ряда:

 

Найти порядковый номер можно еще одним способом:

 

где i0 - номер числа в нулевом интервале (1.0 <а ≤ 10 );

k - целое положительное или отрицательное  число, определяющее удаление рассматриваемого  интервала в ту или другую  сторону от нулевого;

R - число значений  ПЧ в десятичном интервале (номер  ряда).

Найти номер ряда можно прологарифмировав выражение   :

 

Для упрощения расчетов по взаимосвязанным показателям стандартов используется известное свойство логарифмов, позволяющее вместо умножения или деления самих ПЧ соответственно складывать или вычитать номера этих чисел и по результирующему номеру определять искомое число. Возведение предпочтительного числа в целую положительную или отрицательную степень производят путем умножения номера предпочтительного числа на показатель степени и по полученному номеру находят соответствующее число в таблице 1.

Таблица 1  – Предпочтительные числа рядов R5, R10, R20, R40

№ числа	ПЧ	№ числа	ПЧ	№ числа	ПЧ	№ числа	ПЧ	№ числа	ПЧ
0	1	-	-	-	-	-	-	-	-
1	1,06	9	1,7	17	2,65	25	4,25	33	6,7
2	1,12	10	1,8	18	2,8	26	4,5	34	7,1
3	1,18	11	1,9	19	3	27	4,75	35	7,5
4	1,25	12	2	20	3,15	28	5	36	8
5	1,32	13	2,12	21	3,35	29	5,3	37	8,5
6	1,4	14	2,24	22	3,55	30	5,6	38	9
7	1,5	15	2,36	23	3,75	31	6	39	9,5
8	1,6	16	2,5	24	4	32	6,3	40	10

 

Свойства предпочтительных чисел:

− произведение или частное двух предпочтительных чисел, а также положительные или отрицательные степени чисел ряда дают предпочтительное число этого же ряда с относительной ошибкой в пределах от -1,01 до +1,26%;

− куб любого числа ряда R10 в два раза больше куба предыдущего числа, а квадрат – в 1,6 раза больше квадрата предыдущего числа (с относительной ошибкой до 0,1%);

− члены ряда R10 удваиваются через каждые три числа, ряда R20 – через шесть, рада R40 – через 12 членов и т.д.;

− в рядах, начиная с R10 находится число 3, 15, приблизительно равное π, т.е. длины окружности и площади круга примерно равны предпочтительным числам, если диаметр является предпочтительным числом;

− ряд R40 включает предпочтительные числа 3000, 1500, 750 и 375, представляющие собой синхронные частоты вращения валов электродвигателей в оборотах в минуту;

− основные и дополнительные ряды предпочтительных чисел содержат все целые степени десяти.

 

3. Классификация ряда предпочтительных чисел

3.1  Основные и дополнительные ряды ПЧ

Стандартом установлены четыре основных десятичных ряда предпочтительных чисел R5, R10, R20, R40. В технически обоснованных случаях допускается применение двух дополнительных рядов R80 и R160.

R5   →  

R10 →   

R20 →  

R40 →  

R80 →  

R160 →  

Таблица 2 − Знаменатели рядов предпочтительных чисел

Условные обозначения	Знаменатель ряда, q		Количество  членов в десятичном интервале
	Точное  значение	Округленное значение
R5		1,6	5
R10		1,25	10
R20		1,12	20
R40		1,06	40
R80		1,03	80
R160		1,015	160

 

3.2  Выборочный ряд ПЧ

Выборочные ряды ПЧ получают отбором каждого 2, 3, 4, …, n-го члена основного или дополнительного ряда, начиная с любого числа ряда.

Обозначение выборочного ряда состоит из обозначения исходного ряда, после которого ставится косая черта и число 2, 3, 4, …, n соответственно. Если ряд ограничен, то обозначение должно содержать члены, ограничивающие ряд. Если ряд не ограничен, то должен быть указан хотя бы один его член. Например:

R5/2 (1…1000000) – выборочный ряд, составленный из каждого второго члена основного ряда R5, ограниченный членами 1 и 1000000;

R10/3 (… 80 …) – выборочный ряд, составленный из каждого третьего члена основного ряда R10, включающий член 80 и не ограниченный в обоих направлениях;

R20/4 (112 …) – выборочный ряд, составленный из каждого четвертого члена основного ряда R20 и ограниченный по нижнему пределу членом 112;

R40/5 (… 60) – выборочный ряд, составленный из каждого пятого члена основного ряда R40 и ограниченный по верхнему пределу членом 60.

Выборочные ряды ПЧ должны применяться, когда уменьшение числа градаций создает дополнительный эффект по сравнению с использованием полных рядов.

Из выборочных рядов с одинаковым знаменателем предпочтение следует отдавать ряду, содержащему единицу или число, единственной значащей цифрой которого является единица (например: 0.01; 0.1; 10; 100…).

3.3  Составной ряд ПЧ

Составные ряды ПЧ получают сочетания различных основных или выборочных рядов. В различных интервалах имеет разные знаменатели.

Количество основных и выборочных рядов, используемых при получении составного ряда, должно быть минимальным.

Конечные и начальные члены смежных рядов, образующих составной ряд, должны быть одинаковыми, например:

 R20 (1 … 2) R10 (2 … 10) R5/2 (10 … 1000)

 Составные  ряды предпочтительных чисел  должны применяться, если требуемая  плотность значений параметра  в рассматриваемом интервале  неодинакова.

3.4  Производные ряды предпочтительные чисел

Производные предпочтительные ряды чисел устанавливаются для случаев, в которых из-за естественных закономерностей не могут быть применены геометрические ряды. Производные ряды получают путем простейшего преобразования основных и дополнительных рядов предпочтительных чисел, и соответственно, производные ряды также делятся на основные и дополнительные.

Убывающие ряды положительных предпочтительных чисел получают на основе убывающей геометрической прогрессии, i-й член которой равен

 

Эти ряды чисел применяются для установления значений параметров, асимптотически приближающихся к нулю, например, загрязнение вещества.

Обозначение убывающего ряда положительных предпочтительных чисел получают добавлением к обозначению каждого основного или дополнительного ряда предпочтительных чисел знака «↓», например: ↓ R5,

↓ R10 (… 1.25), ↓ R20 (45 …), ↓ R40 (300 … 75).

Комплементарные предпочтительные ряды чисел получают на основе убывающей геометрической прогрессии. Выражение для i-го члена комплементарного ряда имеет вид:

 

где m – целое число или нуль.

Комплементарные предпочтительные ряды следует использовать для установления значений параметров, асимптотически стремящихся к 10m, например, частоты вещества, КПД и т.д.

Члены комплементарного ряда за некоторым исключением не есть предпочтительные числа.

Обозначение комплементарного ряда получают добавлением к обозначению исходного основного или дополнительного ряда предпочтительных чисел знака «−», например:

Арифметические предпочтительные ряды чисел получают на основе прогрессии, i-й член которой определяется выражением

 

при условиях, что кратно и ,

где m – целое число или нуль.

Арифметический ряд предпочтительных чисел представляет собой арифметическую прогрессию с разностью , причем сама разность и члены ряда имеют точные значения.

Они должны применяться при установлении значений параметров:

− сумма или разность которых должна принадлежать тому же ряду (например, при блочном проектировании и модульной координации размеров);

− лежащих в ограниченных пределах, в которых целесообразна линеаризация (например, интервалы температур окружающего воздуха, определяющие нормы, размеры обуви и одежды);

− когда равномерная градация обусловлена удобством использования (например, значения аргументов в таблицах, градуирование шкал приборов);

− когда нужны точные целые значения (например, эталонные значения параметров);

− выраженных в значениях логарифмов или децибелах (например, нормы на уровень шума).

Точные значения членов арифметических рядов в интервале от 0 до 1000 представляют собой мантиссы десятичного логарифма исходных значений предпочтительных чисел.

Арифметические ряды могут быть положительными и отрицательными или могут переходить через нуль. При сложении или вычитании числа этого ряда дают число того же ряда, если оно не выходит за его пределы.

 

 

 

4. Общие правила применения рядов ПЧ

Ряды предпочтительных чисел должны использоваться:

− при установлении стандартных значений и рядов стандартных значений величин;

− при нормировании значений исходных параметров продукции, условий ее существования и процессов, а также разрешенных и допускаемых их отклонений;

− при нормировании значений параметров продукции, связанных логарифмируемой зависимостью с исходными параметрами, значения которых нормируются посредством предпочтительных чисел;

− при приведении значений параметров предметов и процессов, если использование предпочтительных чисел не влечет выхода за пределы допускаемого отклонения.

Производные и специальные ряды чисел допускается применять только в том случае, если применение рядов предпочтительных чисел невозможно или нецелесообразно.

В случае альтернативных рядов предпочтение следует отдавать ряду, имеющему меньшее число градаций, а также основному ряду перед выборочным и составным.

Применение дополнительных рядов предпочтительных чисел допускается только в том случае, если ряд R40 или созданный на его основе производный ряд чисел не обеспечивает требуемого числа градаций. Применение дополнительного ряда должно сопровождаться подробным обоснованием.