Регрессия

 

Задача для самостоятельного решения №1

 

Получены данные о продаже товара Y млн. грн при общем объеме товарооборота X  млрд. грн.  Построить линейную парную регрессию Y на X.

X	8,1	8,3	9	9,2	9,9	10,9	11	11,1	12,3	11,5
Y	13	13,2	13,5	14,1	14,3	14,6	15	15,2	16,1	16,5

 

Необходимо:

1.  Построить  поле корреляции.

2. Рассчитать  параметры парной линейной регрессии  и объяснить их смысл.

3. Оцените  тесноту связи с помощью показателей  корреляции и детерминации.

4. Вычислить  стандартную ошибку оценки регрессии.

5. Вычислить  точечный прогноз реализации  товара для х=х0 .

6.Найти 95% интервалы:

• для коэффициента корреляции;
• математического ожидания  ;
• индивидуального значения ;
• для параметра β1 регрессионной модели;
• для параметра .

7.Оценить  на уровне значимости  значимость уравнения регрессии Y по Х:

• Используя F – критерий Фишера;
• Используя t – распределение Стьюдента.

Уровень значимости принять равным α 0,05.

8.По данным таблиц  построенной линейной парной  регрессии Y  на X, где Y – продажа товара,  X – общий объем товарооборота, требуется:  исследовать отклонения на наличие автокорреляции на основе алгоритма Дарбина–Уотсона. Уровень значимости принять равным α = 0,1.

 

 

 

Решение

Поле корреляции

Судя по полученной диаграмме можно предполагать линейную зависимость. Найдем коэффициенты уравнения регрессии.

Применим метод наименьших квадратов, для чего решаем систему уравнений:

Составим таблицу промежуточных вычислений:

№ п/п	x	y	x2	y2	x·y
1	8,1	13	65,61	169	105,3
2	8,3	13,2	68,89	174,24	109,56
3	9	13,5	81	182,25	121,5
4	9,2	14,1	84,64	198,81	129,72
5	9,9	14,3	98,01	204,49	141,57
6	10,9	14,6	118,81	213,16	159,14
7	11	15	121	225	165
8	11,1	15,2	123,21	231,04	168,72
9	12,3	16,1	151,29	259,21	198,03
10	11,5	16,5	132,25	272,25	189,75
Сумма	101,3	145,5	1044,71	2129,45	1488,29

Система уравнений имеет вид:

Получаем коэффициенты регрессии: b = 0,7753, a = 6,6961.

Уравнение регрессии имеет вид:

Для оценки тесноты связи найдем следующие параметры уравнения регрессии:

;

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение:

;

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Коэффициент детерминации:

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1<rxy<0,3: слабая; 0,3< rxy<0,5: умеренная; 0,5<rxy<0,7: заметная; 0,7<rxy <0,9: высокая; 0,9<rxy<1: весьма высокая;

В нашем случае связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2 = 0,16 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 0,4 – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa – стандартное отклонение случайной величины a.

Sb – стандартное отклонение случайной величины b.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bxp ± ε) где tкрит (n – m – 1;α/2) = (8;0.025) = 2,306.

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и хp = 10.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения регрессии y = bx + a:

y(10) = 0,775·10 + 6,696 = 14,449

14,449 ± 0,293

(14,16;14,74)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. 
Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + ε:

 (13.48;15.42)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Доверительные интервалы индивидуального значения .

(a + bxi ± ε)

где

tкрит (n – m – 1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

 

8,1	12,98	1,06	11,92	14,04
8,3	13,13	1,04	12,09	14,17
9	13,67	1	12,68	14,67
9,2	13,83	0,99	12,84	14,82
9,9	14,37	0,97	13,4	15,34
10,9	15,15	0,98	14,17	16,13
11	15,22	0,99	14,24	16,21
11,1	15,3	0,99	14,31	16,29
12,3	16,23	1,07	15,16	17,31

 

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Доверительный интервал для математического ожидания:

В этом случае 2Ф(tkp) = γ

Ф(tkp) = γ/2 = 0,95/2 = 0,475

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,475

tkp(γ) = (0.475) = 1.96

(14,55 – 0,73;14.55 + 0.73) = (13,82;15,28)

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Доверительный интервал для параметра β1.

(β – tкрит Sb; β + tкрит Sb)

(0,78 – 2,306·0,0929; 0,78 + 2,306·0,0929)

(0,561;0,99)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

S(1 – q) < σ < S(1 + q)

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0,95 и объему выборки n = 10.

По таблице q=q(γ;n) определяем параметр q(0,95;10)=0,65 
1,17(1 – 0,65) < σ < 1,17(1 + 0,65).

0,41 < σ < 1,931

Таким образом, интервал (0,41;1,931) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0,95

t-статистика. Критерий Стьюдента

tкрит (n – m – 1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

Поскольку 8,35 > 2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.

Поскольку 7,05 > 2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается.

F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5,32.

Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Исследуем отклонения на наличие автокорреляции на основе алгоритма Дарбина –Уотсона.

Критерий Дарбина-Уотсона является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

 

Составим таблицу:

y
13	12,98	0,0239	0,00057	0
13,2	13,13	0,0688	0,00474	0,00202
13,5	13,67	-0,17	0,0302	0,0589
14,1	13,83	0,27	0,0735	0,2
14,3	14,37	-0,0717	0,00514	0,12
14,6	15,15	-0,55	0,3	0,23
15	15,22	-0,22	0,0504	0,1
15,2	15,3	-0,1	0,0104	0,015
16,1	16,23	-0,13	0,0175	0,000922
16,5	15,61	0,89	0,79	1,04
			1,28	1,76

 

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 10 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие: 
d1 < DW и d2 < DW < 4 – d2.

Автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5 < DW < 2,5.

Поскольку 1,5 > 1,38 < 2,5, то автокорреляция остатков присутствует.

 

Литература

1. Новиков А.И.  Эконометрика: Учеб.пособие. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 144 с.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 2001. - XIV, - 402с.
1. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник - М.: Финансы и статистика, 2007.-576 с.
3. Магнусян Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2001. - 454 с.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 435 с.
5. Домбровский В.В. Эконометрика – М.: Новый учебник, 2004. – 342 с.