Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Апреля 2015 в 14:53, курсовая работа
Описание работы
Цель работы – рассмотреть основы построения регрессионных
зависимостей в эконометрике.
Задачи работы:
- рассмотреть сущность проверки статистических гипотез;
- изучить интерполяцию;
- провести линеаризацию регрессионных моделей.
Содержание работы
Введение...................................................................................................................3
1.Проверка статистических гипотез......................................................................4
1.1.Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции
регрессии..................................................................................................................4
1.2. Построение квадратичной модели функции регрессии...............................6
2.Интерполирование .............................................................................................10
2.1. Интерполирование функций.........................................................................10
2.2. Практическое применение интерполирования ...........................................14
3.Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии ..........17
3.1. Линеаризация регрессионных моделей .......................................................17
2.2. Построение полулогарифмической функции..............................................20
Заключение ............................................................................................................21
Список литературы ...............................................................................................22
Файлы: 1 файл
Содержание
Введение...................................................................................................................3
1.Проверка статистических гипотез......................................................................4
1.1.Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции
регрессии..................................................................................................................4
1.2. Построение квадратичной модели функции регрессии...............................6
2.Интерполирование .............................................................................................10
2.1. Интерполирование функций.........................................................................10
2.2. Практическое применение интерполирования ...........................................14
3.Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии ..........17
3.1. Линеаризация регрессионных моделей .......................................................17
2.2. Построение полулогарифмической функции..............................................20
Заключение ............................................................................................................21
Список литературы ...............................................................................................22
3
Введение
Последние годы отмечены стремительным расширением области
применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они
применяются в различных науках: физике, техники, геологии, биологии,
лингвистике, медицине, социологии, управлении и т. д. Один из основных
разделов статистики — теория проверки статистических гипотез. Понятие
практической статистики, процедура обоснованного
сопоставления
высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных
статистических параметров анализируемого явления с имеющимися в
распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).
Цель работы – рассмотреть основы построения регрессионных
зависимостей в эконометрике.
Задачи работы:
- рассмотреть сущность проверки статистических гипотез;
- изучить интерполяцию;
- провести линеаризацию регрессионных моделей.
4
1.Проверка статистических гипотез
1.1.Проверка статистической гипотезы о значимости
коэффициента функции регрессии
В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо
сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно
величины независимых параметров или закона распределения изучаемой
генеральной совокупности (совокупностей).
Например, исследователь выдвигает гипотезу о том, что «выборка
извлечена из нормальной генеральной совокупности» или «генеральные
средние двух анализируемых совокупностей равны». Такие предположения
называются статистическими гипотезами.
Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной
совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое
количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и
осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия,
называется проверкой статистических гипотез.
Под статистической гипотезой понимаются различного рода
предположения относительно характера или параметров распределения
случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты
наблюдений в случайной выборке.
Иными
словами,
статистической
гипотезой
называется
предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно
проверить, опираясь на данные выборки. Обозначается гипотеза буквой Н.
Так, может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя в генеральной
совокупности равна некоторой величине.
Например, Н:
= , или о том, что генеральная средняя больше
некоторой величины: Н: > b.
5
Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по
имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую
гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по
определенным правилам.
Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет
вероятностный характер. С помощью статистической проверки гипотез
можно определить вероятность принятия ложного решения по тем или иным
результатам статистического изучения данного явления. Если вероятность
ошибки невелика, то статистические показатели исчисленные при изучении
явления, могут быть использованы для практических целей при малом риске
ошибки.
Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью
статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющегося
функцией от результатов наблюдения.
F-критерий Фишера – статистический критерий. Используется для
оценки значимости уравнения регрессии.
Оценку статистической значимости построенное модели регрессии в
целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение
F-критерия для парного линейного уравнения регрессии определяется как
F =
2
1
2
2
2
n
r
r
n
С
С
ост
факт
,
где С
факт
=
2
y
y
i
- факторная, или объясненная регрессия, сумма
квадратов; С
ост
=
2
i
i
y
y
- остаточная сумма квадратов;
2
r
- коэффициент
детерминации.
Табличное значение F-критерия сравнивается с фактическим, если
фактическое значение F превышает табличное F
табл
, то можно сделать вывод,
что уравнение регрессии статистически значимо. Следовательно гипотеза Н
0
отклоняется. И наоборот.
6
1.2. Построение квадратичной модели функции регрессии
Построим квадратичную модель вида
у
i
=
0
a +
2
1
2
i
i
а х
а х
.
№
Фондоотдача,
руб./руб., х
Товарная
продукция,
тыс. руб., у
1
0,3
3100
2
0,5
1500
3
0,6
1800
4
0,6
4800
5
0,7
2100
6
0,9
3300
Построим вспомогательную таблицу.
№
Фондоотдача,
руб./руб., х
Товарная
продукция,
тыс. руб., у
2
i
х
3
i
х
4
i
х
i
х
у
2
i
х
у
1
0,3
3100
0,09
0,027
0,0081
930
279
2
0,5
1500
0,25
0,125
0,0625
750
375
3
0,6
1800
0,36
0,216
0,1296
1080
648
4
0,6
4800
0,36
0,216
0,1296
2880
1728
5
0,7
2100
0,49
0,343
0,2401
1470
1029
6
0,9
3300
0,81
0,729
0,6561
2970
2673
Всего
3,6
16600
2,36
1,656
1,226
10080
6732
Рассчитаем параметры
1
2
,
а а
a и
0
a
решив систему:
2
1
2
0
2
3
1
2
0
2
2
3
4
1
2
0
y n a а
х а
х
yх a
х а
х
а
х
yх
a
х а
х а
х
Получаем:
0
1
2
0
1
2
0
1
2
16600 6
3,6
2,36
10080 3,6
2,36
1,656
6732 2,36
1,656
1,226
а
а а
а
а а
а
а а
Решив систему получим:
2
0,001
а
1
3,549
а
;
0
55,107
a
7
Получаем уравнение:
2
6027,4
6632,
( )
9
4375,6
x
x
Y X
.
Построим график.
Определим коэффициент регрессии для линейной и квадратичной
модели по формуле:
2
2
2
1
i
i
y y
R
y y
.
Построим вспомогательную таблицу.
№
Фондоотдача,
руб./руб., х
Товарная
продукция,
тыс. руб., у
2
i
y
y
Линейная модель
Квадратичная
модель
i
y
2
i
y y
i
y
2
i
y y
1
0,3
3100
111111
2587
32388
2928
26092
2
0,5
1500
1604444
2707
3596
2566
40267
3
0,6
1800
934444
2767
0
2566
40378
4
0,6
4800
4134444
2767
0
2566
40378
5
0,7
2100
444444
2827
3604
2686
6508
6
0,9
3300
284444
2947
32412
3288
271980
Всего
3,6
16600
7513333
16600
72000
16600
425603
Получаем:
- для линейной модели:
2
72000
1
0,9904
7513333
R
;
- для квадратичной модели:
2
425603
1
0,9434
7513333
R
.
y = 6027.4x
2
- 6632.9x + 4375.6
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Товар
ная
проду
кц
ия, тыс.
ру
б., у
Фондоотдача, руб./руб., х
8
Оценку статистической значимости построенное модели регрессии в
целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение
F-критерия для парного линейного уравнения регрессии определяется как
F =
2
1
2
2
2
n
r
r
n
С
С
ост
факт
,
где С
факт
=
2
y
y
i
- факторная, или объясненная регрессия, сумма
квадратов; С
ост
=
2
i
i
y
y
- остаточная сумма квадратов;
2
r
- коэффициент
детерминации.
Получаем:
- для линейной модели: F =
0,9904
6 2
413,4
1 0,9904
,
- для квадратичной модели: F =
0,9434
6 2
66,61
1 0,9434
.
Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 2 и 4 и
уровне значимости 0,05 составит: F
0,05,2,4
= 6,9, т. е. фактическое значение F
(F
факт
= 9,19 и 9,20) превышает табличное (F
табл
= 6,9), и можно сделать
вывод, что уравнение регрессии статистически значимо. Следовательно
гипотеза Н
0
о незначимости уравнения отклоняется. Заметим, что значимость
линейного уравнения выше, чем квадратичного.
Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции r
ух
–
r
s
:
2
1
2
yx
r
r
s
n
и t-статистику по модулю:
yx
r
r
r
t
s
.
Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t-критерия
Стьюдента на уровне значимости а=0,05 с n–2=6-2=4 степенями свободы:
t
табл
=2,78.
Получаем:
- для линейной модели:
1 0,9904
0,0489
6 2
r
s
;
9
0,9904
20,33
0,0489
r
t
;
- для квадратичной модели:
1 0,9434
0,1190
6 2
r
s
;
0,9434
8,16
0,1190
r
t
.
Можно сделать вывод о статистической значимости полученного
коэффициента корреляции r
ух
в 95% случаев, заметим, что значимость
линейного уравнения выше, чем квадратичного.
10
2.Интерполирование
2.1. Интерполирование функций
Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что
любому значению х из области определения поставлено в соответствие
значение у. Вместе с тем, на практике часто неизвестна явная связь между у и
х, т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости у = f(x).
Иногда даже известная зависимость у = f(x) оказывается настолько
громоздкой (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные
интегралы и т. п.), что ее использование в практических расчетах требует
слишком много времени. Наиболее распространенным и практически
важным случаем, когда вид связи между параметрами х и у неизвестен,
является задание этой связи в виде некоторой таблицы {x
i
, y
i
}. Это означает,
что дискретному множеству значений аргумента {x
i
} поставлено в
соответствие множество значений функции {y
i
, i = 0,1,..., n }. Эти значения —
либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике
могут понадобиться значения величины у и в других точках, отличных от
узлов x
i
. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных
расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.
Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств
необходимо использовать имеющиеся табличные данные для приближенного
вычисления искомого параметра у при любом значении (из некоторой
области) определяющего параметра х.
Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации) функций:
данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать)
некоторой функцией
(x) так, чтобы отклонение (в некотором смысле)
(x)
от f(x) в заданной области было наименьшим.
Функция
(x) при этом называется аппроксимирующей.
Рассмотрим несколько постановок задачи приближения функций.
11
I. Задача приближения (аппроксимации): для функции
)
(x
f
построить
функцию
)
(x
так, чтобы выполнялись требования: близости
)
(x
f
и
)
(x
,
простоты вычисления и хранения значений
X
x),
x(
.
2. Задача восстановления (интерполяции) значений. Функция
)
(x
f
известна в конечном числе узлов
,
0,1, 2, ...
i
x x i
из области определения
X
. Необходимо найти способ приближенного вычисления
)
(x
f
в любой точке
множества
X
.
3. Сглаживание экспериментальных данных (аппроксимация): функция
)
(x
f
задана на конечном числе узлов своими значениями, которые получены
в результате эксперимента с погрешностью. При этом известно, что
)
(x
f
обладает свойствами гладкости на X . Нужно найти функцию
)
(x
с
заданными свойствами гладкости, для которой уклонение от
)
(x
f
было бы
достаточно мало.
Как видно из качественной постановки проблемы приближения
функций успех при решении поставленных задач во многом определяется
удачным решением следующих трех вопросов:
1. Если для замены функции
)
(x
f
на некоторую функцию
)
(x
необходимо использовать сетку узловых значений из
X
, то каким образом
сформировать эту сетку значений?
2. Какой класс приближающихся функций
)
(x
лучше использовать?
3. Какой критерий близости (или критерий согласия) принять для
)
(x
f
и
)
(x
? Рассмотрим более подробно эти три вопроса.
Вопрос первый - как правило, на практике узловые значения
( ),
0,1, 2, ...
i
f x i
диктуются внешними условиями, а именно, периодом
опроса датчика, обеспечивающего сбор информации о процессе
)
(x
f
. В этом
случае, как правило, сетка значений получается равномерной и задача
сводится к выбору приемлемой величины
...
,2
,1
,
1
i
x
x
x
i
i
. Здравый
смысл подсказывает, что чем меньше будет выбрана величина
x
, тем точнее
12
можно аппроксимировать
)
(x
f
функцией
)
(x
. Однако уменьшение
x
приводит к удорожанию аппаратуры опроса и передачи информации, кроме
того, уменьшение
x
ведет к повышению доли шумовой составляющей,
которая всегда присутствует в реальных процессах.
Можно указать путь, который обеспечивает обоснованный выбор
величины
x
: это оценка спектральных характеристик исходной функции
)
(x
f
. В этом случае можно воспользоваться известной теоремой
Котельникова для функций с конечным спектром, но при решении
практических задач, когда
)
(x
f
является функцией с бесконечным спектром,
обычно поступают следующим образом. Проводят «усечение» спектральной
характеристики
)
(
f
S
на некотором уровне (обычно
)
(
)
01
.0
05
.0
(
max
f
S
),
определяют граничную частоту
0
и по ней вычисляют
0
x
Второй вопрос - выбор класса приближающихся функций. Общих
рекомендаций по выбору конкретного класса не существует, поэтому
перечислим наиболее употребительные классы и укажем некоторые
особенности их применения.
Классический способ приближения - полином вида:
n
n
n
x
a
x
a
a
x
P
1
0
)
(
степень которого
0
n
.
Для приближения периодических функций целесообразно использовать
класс тригонометрических полиномов порядка n:
)
sin(
)
cos(
1
0
kx
b
kx
a
a
x
t
k
n
k
k
n
В тех случаях, когда приближаемая функция
)
(x
f
имеет «всплески»,
т.е. большие по абсолютной величине значения на некоторых участках
области
X
в сравнении с другими значениями, предпочтительнее
использовать класс рациональных дробей
13
0
,
0
,
m
k
k
k
n m
n
j
j
j
a x
r
x
b x
причем
0
0
n
j
j
j
b x
для любого
X
x
.
Третий вопрос - как оценить «близость» функции
)
(x
f
и
)
(x
?
1. Для функций, определенных на сетке
0
{ }
,
n
i
x
X
, можно потребовать
)
(
)
(
i
i
x
x
f
. Это так называемая лагранжева интерполяция.
2. Можно потребовать, чтобы для непрерывных функций, заданных на
множестве
b,
a
x
X
x
x
x
x
f
X
x
c
max
была минимальной или не превышала некоторого заданного числа
.
Это чебышевская норма. Поскольку
c
x
, то при достаточно малом
значении
c
обеспечивается малость
x
для каждой точки
X
x
. С
геометрической точки зрения условие
c
означает, что график функции
)
(x
f
лежит в полосе "шириной"
2
, ограниченной графиками функций
x
и
x
.
Использование указанного способа измерения расстояния между
непрерывными функциями
)
(x
f
и
x
, определенными во всех точках
промежутка
]
,
[ b
a
, имеет смысл только тогда, когда важно иметь хорошее
приближение функции
x
к исходной
)
(x
f
во всех точках области
определения.
В тех случаях, когда особых требований к точности аппроксимации в
каждой точке
X
x
не предъявляется или известно, что возможны случайные
выбросы
)
(x
f
в некоторых точках за счет неточности измерений, имеет
смысл воспользоваться другой мерой “близости”.
3. Норма
14
,
1
dx
x
k
если
,
,b
a
x
x
или
1
X
x
i
i
x
x
если
_____
,
0, 1,
i
X
x i
n
- сетка.
Здесь
.
1
В случае
1
и
b
a
X
,
величина
i
равна площади фигуры,
ограниченной осью абсцисс и графиком функции
x
Для
2
норма носит название среднеквадратичной. Этот критерий
наиболее популярен вследствие простоты решения задачи аппроксимации.
2.2. Практическое применение интерполирования
Используя исходные данные из КР №2 получим значение функции
Y(х) в точке «х», соответствующей середине имеющегося интервала,
используя интерполяционный многочлен 2-й, 3-й и 5-й степени.
Алгебраический многочлен
x
P
n
степени n можно представить в виде:
i
i
n
i
i
i
n
n
n
x
x
,x
a
a
...
x
a
a
x
P
0
1
1
0
Ранее мы получили:
2
2
6027,4
6632,9
4375,
)
6
(
P
x
x
x
Используя схему Горнера, рассчитаем значения
2
( )
P x
в точках
3
.x
3
0,6.
x
2
2
1
1
2
0
0
1
3016,46
256
6027,4;
6632,9 6027,4 0,6
;
4375,6 1801587 (0
5,724
,6)
.
b
a
b a b x
b
a b x
15
Многочлен 3-й степени определим используя встроенную функцию
Excel – Мастер диаграмм.
Имеем
3
3
2
33333
6602
( )
39900
7
9935,6
P
x
x
x
x
.
Используя схему Горнера, рассчитаем значения
)x
(
P
3
в точках
3
.x
3
0,6.
x
3
3
2
2
3
1
1
2
0
0
1
33333;
66027 33333 0,6
;
3990
46027,2
46027,2
12
0
0,6
;
9935,6
0
283,7
12283,7
2565,3
,
.9
6
b a
b
a b x
b a b x
b
a b x
Многочлен 5-й степени определим используя встроенную функцию
Excel – Мастер диаграмм.
Имеем
6
4
6
5
3
6
6
2
10
4 10
4 10
( ) 2
1890
1
00
10
P x
x
x
x
x
.
y = -33333x
3
+ 66027x
2
- 39900x + 9935.6
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Товар
ная
проду
кц
ия, тыс.
ру
б., у
Фондоотдача, руб./руб., х
y = 2E+06x
4
- 4E+06x
3
+ 4E+06x
2
- 1E+06x + 189000
y = 2E+06x
4
- 4E+06x
3
+ 4E+06x
2
- 1E+06x + 189000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Товар
ная
пр
одук
ция, тыс.
ру
б., у
Фондоотдача, руб./руб., х
16
Используя схему Горнера, рассчитаем значения
5
( )
P x
в точках
3
.x
3
0,6.
x
5
5
4
4
5
3
3
4
2
2
3
1
1
2
0
0
1
0;
1861111 0 0,6 1861111;
4500000 1861111 0,6
;
3911389
0,6 1881389;
1438333 1881389 0,6
309500;
189000 309500
3383333
3383333
3300,23
0,6
.
b
a
b
a
b x
b
a b x
b
a
b x
b
a b x
b
a
b x
Таким образом, сравнивая значения Y(интерполяции) видим, что
фактическое значение У составляет 1800 тыс. руб., в то время как при
использовании многочлена 2-й степени мы получили 2565,724 тыс. руб., 3-й
степени –2565,39 тыс. руб., 4-й – 3300,23 тыс. руб. Т.е. наиболее подходящей
моделью для интерполирования является модель второй степени.
17
3.Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи
регрессии
3.1. Линеаризация регрессионных моделей
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к
линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая
оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.
Рассмотрим некоторые функции.
Парабола второй степени
2
x
y
a b x c x
приводится к линейному
виду с помощью замены:
2
1
2
,
x x x
x
. В результате приходим к
двухфакторному уравнению
1
2
x
y
a b x c x
, оценка параметров которого
при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
;
;
.
a n
b
x
c
x
y
a
x b
x
c
x x
x y
a
x
b
x x
c
x
x y
А после обратной замены переменных получим
2
2
3
2
3
4
2
;
;
.
a n
b
x c
x
y
a
x b
x c
x
x y
a
x b
x c
x
x y
Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для
определенного интервала значений фактора меняется характер связи
рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или
обратная на прямую.
Равносторонняя гипербола
x
y
a b x
приводится к линейному
уравнению простой заменой:
1
z
x
. Система линейных уравнений при
применении МНК будет выглядеть следующим образом:
18
2
1
;
1
1
1
.
a n
b
y
x
a
b
y
x
x
x
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости
ln
x
y
a b
x
,
x
y
a b x
и другие.
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по
оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели
внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью
соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и
нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не
приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся
- степенная функция –
b
x
y
a x
Линеаризация проводится логарифмированием,
Сделаем замены:
x
x
1
ln
;
b
a
1
;
a
b
1
ln
.
После этого уравнение регрессии становится линейным:
1
1
1
1
b
x
a
y
;
- показательная –
x
x
y
a b
,
- экспоненциальная –
e
a b x
x
y
.
Чтобы уравнение стало линейным, нужно убрать из показателя степени
коэффициент b. Единственный способ это сделать – логарифмировать обе
части равенства:
Сделаем замены :
y
y
1
ln
;
b
a
1
;
a
b
1
ln
.
После этого уравнение регрессии становится линейным:
1
1
1
b
x
a
y
.
bx
a
y
ln
ln
x
b
a
y
ln
ln
ln
19
Нужно пересчитать исходные данные для фактора Y, и потом, когда
коэффициенты регрессии
1
,b
a
1
будут найдены, вернуться назад к
коэффициентам
b
a,
.;
- логистическая –
1
e
x
c x
a
y
b
,
- обратная –
1
x
y
a b x
.
К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести
следующие модели:
c
x
y
a b x
,
1
1
1
x
b
y
a
x
.
Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная
функция
b
y a x
,
которая приводится к линейному
виду
логарифмированием:
Y A b X
,
где
ln ,
ln ,
ln ,
ln
Y
y X
x A
a
. Т.е. МНК мы применяем для
преобразованных данных:
2
,
,
A n
b
X
Y
A
X b
X
X Y
а затем потенцированием находим искомое уравнение.
Линеаризация моделей
Название
функции
Вид модели
Заменяемые
переменные
Вид
линеаризиров
анной модели
Показательная
Ln y = Ln a+ х
ln b
Ln y = Y, Ln a
= α, Ln b =β
Y = a + xb
Степенная
Ln y = Ln a+ b
ln x
Ln y = Y, Ln a
= α, Ln x =x
Y = a + bx
гиперболичес
кая
Y = a + b/x
1/x=X
Y = a +b X
20
2.2. Построение полулогарифмической функции
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию
переменных. Для этого произведем логарифмирование уравнения:
€
lg
Y a b X
Построим вспомогательную таблицу.
№
Фондоотдача,
руб./руб., х
Товарная
продукция,
тыс. руб., у
lg x
y lg x
(lg x)2
1
0,3
3100
-0,52
-1620,92
0,27
2
0,5
1500
-0,30
-451,54
0,09
3
0,6
1800
-0,22
-399,33
0,05
4
0,6
4800
-0,22
-1064,87
0,05
5
0,7
2100
-0,15
-325,29
0,02
6
0,9
3300
-0,05
-151,00
0,00
Итого
3,6
16600
-1,47
-4012,96
0,49
Рассчитаем его параметры, используя таблицу.
1
2
2
2
lg
lg
6 ( 4012,96) ( 1,47) 16600
6 0,49 ( 1,47)
(lg )
lg
380,97
n
xY
x
а
n
x
x
;
2
0
2
2
2
2
(lg )
lg
lg
(lg )
lg
0,49 16600 ( 1,47) ( 4012,96)
6 0,49
2488,9
( 1,47)
9
x
x
x
a
n
x
x
Уравнение регрессии будет иметь вид:
2488,99 380,97lg
Y
Х
.
21
Заключение
Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике,
общественных науках, исследовании экономической активности даже в
исследовании политических процессов.
Математические модели полезны для более полного понимания
сущности происходящих процессов, их анализа. Модель, построенная и
верифицированная на основе (уже имеющихся) наблюденных значений
объясняющих переменных, может быть использована для прогноза значений
зависимой переменной в будущем или для других наборов значений
объясняющих переменных.
22
Список литературы
1. Власов М.П., Шимко П.Д. Общая теория статистики.
Инструментарий менеджера международной фирмы: учеб. пособие. – СПб.:
СПбГИЭУ, 2011. – 452 с.
2. Григорьева Р.П., Басова И.И. Статистика труда: конспект лекций. –
СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2012. – 64 с.
3. Добрынина Н.В., Нименья И.Н. Статистика. Учеб.-метод. пособие. –
СПб.: СПбГИЭУ, 2014. – 103 с.
4. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: учебник
/Под ред. И.И. Елисеевой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и
статистика, 2013. – 656 с.
5. Микроэкономическая статистика: Учебник/ Под ред. С.Д.
Ильенковой. – М.: Финансы и статистика, 2012. – 544 с.
6. Практикум по теории статистики/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. –
М.: Финансы и статистика, 2012. – 416 с.
7. Теория статистики/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы
и статистика, 2010. – 576 с.
Информация о работе Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии