Примеры экономико-математических моделей

Примеры экономико-математических моделей.

 

Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.

Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель.

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов : оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны  и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции ( или, в предложении , что вся она найдет сбыт на рынке – общей выручки от реализации).

Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции ( пусть это индекс i , меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов ( если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные – те, которые задаются вне модели. Т.е. известны заранее, и параметры – это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные – имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L, и сырья R,; заданы параметры – коэффициенты их расхода на единицу i-й продукции k,  L,  и r  соответственно. Цены продуктов  p также известны.

Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне.В нашем случае – это неизвестные объемы производства продукции каждого i-го вида ; обозначим их x.

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и  

целевой функции ( если такова имеется). В нашей задаче допустимое множество – это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. Оно описывается с помощью системы неравенств :

 

 

kx + kx + …+ kx ≤ K ,                       ∑ kx   ≤  K ,

lx + lx + … + lx  ≤ L  ,      или           ∑ lx    ≤  L ,

rx + rx + … + rx  ≤ R ,                       ∑  rx   ≤  R .

 

  К этим ограничениям по  ресурсам добавляются требования  неотрицательности переменных  x ≥ 0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью ( например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно, исключило бы из него первоначально наилучшее решение.

Если модель является оптимизационной ( а данная модель такова), то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина, отражающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется величина

 

px + px + … + px ,   или   ∑ px → max.

 

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение ( ЛПР).  Действительности, по крайней мере :

1. Ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;
2. Затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску ( есть постоянные затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются) ;
3. Объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться и продаваться, браться или сдаваться в аренду;
4. Внутри каждого вида ресурсов можно выделить составляющие, функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска;
5. Цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается цены ресурса;
6. Фирма может использовать одну из конечного набора технологий ( или сочетание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочетаниями используемых ресурсов;
7. Различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица, принимающего решение ( что обусловлено, например, особенностями налоговой системы).
8. Интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, поэтому целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;
9. Для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;
10. На ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной деятельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях.

 

 

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта , цели моделирования и используемого инструментария; модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статистические и динамические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с использованием аппарата теории игр.

Теоретические модели  позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

В моделировании рыночной экономики особое  место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результатирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам  ( например, дефицит) компенсируется другими факторами ( черный рынок, очереди и т.п.) Равновесные модели дескриптивны, описательны В нашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на оптимизации. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне ( максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой) ; на макроуровне  результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

В моделях статистических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В статистических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статистических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моделями. Стохастические модели допускают  наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания.