Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии определённости

Введение

 

Обратные вычисления относятся  к классу наиболее капризных и  трудных задач. Объясняется это  непредсказуемостью поведения обратной функции, форма записи которой –  как правило – не известна, либо представлена приближённо. Отсюда возникает проблема определения диапазонов исходных данных, при которых задача имеет решение.

Если прямые зависимости, получаемые в результате изучения связей между событиями, отражают существующее положение вещей («как есть») и обычно рассматриваются как первичные, то обратные зависимости, полученные из уже имеющихся, с одной стороны, прямых зависимостей, а с другой – обратными функциями, находят, исходя из целей уравнения, которое отсутствует в прямых зависимостях.

Объективно обратные вычисления должны рассматриваться в качестве вторичных, так как зависят от целей воздействия на те или иные события, и их решение обусловлено прямыми задачами.

В курсовой работе рассмотрен один из методов решения обратных задач, который будем называть обратные вычисления (ОВ).

Особый интерес представляют два класса задач: детерменированные и стохастические (решаемые в условиях риска). Для всех классов задач выведены типовые целевые установки, возникающие в процессе принятия решения. Эти установки позволяют привести любую функцию, используемую для прямого расчёта, к виду, который позволяет выполнить ОВ.

Несмотря на то, что ОВ не нашли ещё своей популярности в процессе принятия экономических  решений, перспективность их неоспорима. ОВ могут применяться как на самой  фирме для корректировки своих экономических показателей в желаемую сторону, снижения рисков, обоснования бизнес-планов, так и в консалтинговых организациях. 

1. Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии определённости

 

1. Обратные задачи и обратные вычисления

 

1. Примеры формулировок обратных задач

 

Для систем, ориентированных  на принятие решений в условиях определённости (детерменированные зависимости):

1. Прямая задача: Какова рентабельность предприятия?

Обратная задача: Что надо предпринять, чтобы рентабельность         предприятия повысилась на А%?

2. Прямая задача: Какова конкурентоспособность предприятия?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы конкурентоспособность повысилась на B единиц.

3. Прямая задача: Какова выручка предприятия за месяц?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы выручка предприятия повысилась на K единиц?

Системы, ориентированные  на формирование решений в условиях риска (стохастические зависимости).

1. Прямая задача: Какова вероятность наступления одного из независимых событий?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы данная вероятность повысилась (понизилась)?

2. Прямая задача: Определить вероятность того, что взятая наугад продукция окажется отличного качества?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы взятая наугад продукция оказалась отличного качества?

 

2. Обратные вычисления. Коэффициент относительной важности.

 

Обратные задачи характеризуются капризностью и  трудоемкостью. Капризность заключается в непредсказуемости поведения функции, вид которой, как правило, либо неизвестен, либо известен приблизительно. Отсюда всегда существует проблема с определением диапазонов значений исходных данных, при которых задача, во-первых, имеет смысл, а во-вторых - имеет решение.

Так как обратную функцию получить трудно, а зачастую и невозможно, существует потребность  в разработке метода, который позволил бы решать некоторые обратные задачи без нее. Решения для такого класса задач могут быть частичными, т.е. точечными, базирующимися не на области решений, а на некоторой ее точке.

Метод обратных точечных вычислений, представленный далее, требует немногого: корректно оформленных прямых зависимостей и дополнительной информации о целях, преследуемых Лицом, формирующим решение. Дополнительная информация отражается в специально разработанной форме, названной «целевая установка». Эта форма позволяет достаточно просто трансформировать исходные формулы в соответствующие постановки обратных задач.

Решение обратных задач с помощью обратных вычислений - это получение точечных значений приростов аргументов прямой функции  на основании ее задаваемого значения и дополнительной информации, поступающей от лица, формирующего решение. Точечными они называются потому, что отыскиваются новые значения аргументов лишь для одной заданной точки функции.

Дополнительная  информация, используемая при этом, касается:

целевой установки  лица, формирующего решение, выражаемой с помощью знаков (увеличение или  уменьшение) приростов каждого из аргументов прямой функции;

приоритетности  в путях достижения целей, отражаемой с помощью коэффициентов относительной важности (КОВ).

Полученное решение  задачи требует тщательного анализа, так как вычисленные точечные значения неизвестной обратной зависимости  могут быть бессмысленными. Анализироваться  должны исходные данные, диапазон и  значений, при которых задача имеет  решение.

 

2. Принцип выполнения обратных вычислений

 

Управление – это вмешательство в существующий ход событий с помощью соответствующих инструментальных средств. При этом предполагается, что известно желаемое значение показателя, отражающего цель управления.

В простейших случаях, при наличии аддитивной функции  и если при этом знак желаемого  прироста функции совпадает со знаками  аргументов, задача решается просто. Для определения приростов аргументов достаточно прирост функции разделить пропорционально коэффициентам относительной важности аргументов. Допустим, что известна следующая целевая установка:

 

Плюсы над соответствующими компонентами уравнения целевой  установки (ЦУ) показывают, что решается задача на увеличение значения компонента А, путём увеличения компонент B и C с соответствующими КОВ . Если бы в записи за место любого из плюсов присутствовал бы минус, то речь шла бы об уменьшении соответствующей компоненты.

Теперь необходимо дать определение Коэффициенту относительной важности. КОВ – это пропорции, согласно которым должно произойти увеличение (уменьшение) аргументов в ЦУ. Пусть известен прирост , который, в силу записанной выше ЦУ, следует получить в результате увеличения обоих аргументов. Если известны КОВ, то приросты аргументов можно записать следующим образом:

Пусть задана некоторая  двумерная функция Z=f(x,y), описывающая некую экономическую закономерность (как самый простой пример, можно рассматривать функцию прибыли фирмы . Пусть ЛПР (лицо, принимающее решение) преследует цель увеличить Z на величину . Так как в функции два аргумента, прирост её возможен за счёт приростов либо первого аргумента, либо второго, или же за счёт прироста обоих, или за счёт прироста первого и снижения второго, или за счёт уменьшения первого и увеличения второго. Первый вариант можно представить так: , где и - приросты функций, полученные за счёт приростов первого и второго аргументов. Остальные варианты получаются путём изменения знаков около приростов.

Для того чтобы  узнать какими должны быть приросты аргументов, можно задать следующее соотношения:

 

Откуда

 

Принимая во внимание, что , можно записать следующее условие: .

Отсюда задачу обратных вычислений для функции  с двумя переменными можно  переписать в общем виде как систему  уравнений:

 

 

Здесь выражения  и указывают на функциональную зависимость прироста от КОВ , а прирост от КОВ . Обязательным условием выступает ограничение . Прирост задаётся, а неизвестными остаются приросты и .

Пусть теперь ЛПР  стремиться изменить на функцию с соответствующими КОВ для каждого из трёх аргументов функции

Следуя вышеприведённым  рассуждениям на случай двух переменных, получим запись задачи обратных вычислений на случай трёх переменных:

 

 

Или

 

Тогда система  уравнений для задачи на случай трёх переменных имеет вид

 

 

 

3. Пример выполнения обратных вычислений в условии определённости

 

Приведём примеры  обратных вычислений в случае определённости двумя способами. Первый способ будет основан на известности КОВ для аргументов функции, второй способ – на невозможности для ЛПР определить приоритетности целей (или, что тоже самое – КОВ для каждого аргумента функции).

Пример 1.

В качестве примера  выберем предприятие, руководство  которого озабочено низким уровнем  рентабельности. При этом оно осознаёт пути повешения рентабельности и  способно указать приоритеты в выборе этих путей. Известна зависимость рентабельности от прибыли предприятия и себестоимости продукции : . Текущий уровень рентабельности равен 5%, прибыль предприятия 325 тысяч рублей в месяц, себестоимость продукции 6,5 миллионов рублей в месяц. Перед руководством фирмы стоит задача поднять рентабельность предприятия до 20%.

Решение данной задачи возможно в  следующих вариантах: повышение прибыли путём увеличения объёма продаж (более качественная реклама и т. п.), и понижении себестоимости продукции (если есть возможность усовершенствовать технологии изготовления продукции); в повышении прибыли путём увеличения объёма продаж и повышение себестоимости продукции (если у фирмы нет возможности усовершенствования технологий).

Предположим, что  у фирмы есть возможность усовершенствования технологии производства, но выбор  объёма финансирования предполагаемого  обновления зависит от того, насколько  фирма хочет снизить себестоимость  продукции. Для чёткого определения потребностей в финансировании проекта необходимо определить величину, на которую надо снизить себестоимость продукции, чтобы желаемый уровень рентабельности стал 20%.

Для  случая, когда менеджмент фирмы выбирает приоритеты, к примеру, следующим образом: задача решается на основе индивидуальных коэффициентов прироста аргументов.

Введём индивидуальные коэффициенты : .

Составим систему  уравнений:

 

Решив её относительно получим

 

По имеющимся  данным вычислим

 и .

Тогда *325000=1223026 ; ; .

Таким образом, предприятие  должно увеличить прибыль до 1223026 рублей и уменьшить себестоимость  до рублей, что приведёт к повышению рентабельности до 20 процентов.

Теперь рассмотрим решение этой же  задачи, но при  условии, что руководство предприятия не может определить приоритеты в выборе путей достижения цели. Решение в данном случае будет осуществляться без указания приоритетности целей.

Введём величину .

Получим

 

 

 

Тогда

Таким образом, в случае невозможности определения приоритетов  в пути решения поставленной задачи, руководству фирмы надо увеличить  прибыль до 650000 рублей, а себестоимость  продукции сократить до 3250000 рублей, чтобы рентабельность поднялась до 20%.

Стоит отметить, что рассмотренный пример приведён для функции двух переменных, поэтому определение КОВ вполне реально, но на практике достаточно часто важность целей установить или невозможно, или затруднительно. Иногда такая характеристика не интересует ЛПР, например, если у функции 7-10 аргументов, то определить важность целей, отражаемых с их помощью, весьма проблематично.

Пример 2.

Известно, что  СКО − которое можно использовать как меру риска − сформированного портфеля ценных бумаг определяется следующим образом

 

где – вектор долей ценных бумаг, из которых составлен портфель, – матрица ковариаций ценных бумаг портфеля.

Рассмотрим случай, когда портфель составлен из двух ценных бумаг. Тогда , .

 

 Пусть , и , тогда R(0,6; 0,4)= 2,457.

Предположим, фирма, проанализировав рыночную конъюнктуру, пришла к выводу, что ожидаемая доходность по акциям второго типа в ближайшее время увеличится, а ожидаемая доходность по акциям первого типа − уменьшится (что вполне очевидно, так как ковариация между данными типами акций равна -2).

Руководство фирмы  заинтересовано в увеличении ожидаемой  доходности всего своего портфеля ценных бумаг, поэтому решает повысить долю акций первого типа и понизить долю акций второго типа. Но, в свою очередь, при формировании новых пропорций ценных бумаг в портфеле, вопрос об уровне риска остаётся основополагающим. Отношение к риску являет субъективным фактором, который определяет желаемый (приемлемый) уровень  риска портфеля для фирмы. Это означает, что задача в нашем случае может быть сформулирована следующим образом: каковы должны быть условия для того, чтобы уровень инвестиционного риска повысился с 2,457 до 3 (повышение риска связано с тем, что фирма желает увеличить долю типа акций с большей дисперсией (15)).

Итак, целевая  установка для данного примера  выглядит следующим образом:

 

Система уравнений  для данного случая выглядит следующим  образом