Парный регрессионный анализ

Задача 1. Парный регрессионный анализ

По 10 предприятиям региона изучается зависимость средней цены единицы товара Y (руб.) от суммы затрат на расширение производства Х (млн. руб.).

Требуется:

1. Построить выборочное уравнение линейной регрессии и дать экономическую интерпретацию его углового коэффициента b1 . Найти коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера на уровне значимости α = 0,05.

2. Построить выборочное уравнение гиперболической регрессии . Найти коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера на уровне значимости α = 0,05.

3. Выбрать наилучший вариант модели.

Решение:

1.                  Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 1:

Таблица 1

Расчет параметров уравнения линейной регрессии

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Ỹ, (1)

b1 =, (2)

где cov (x,y) =- - ковариация признаков x и y;

=- - дисперсия признака x

=, =, =, =

Из формулы (1) найдем параметры линейной регрессии:

b1===-2,394

b0= -b1=59.2+2.394*11=85.533

Получено уравнение регрессии:

y=85,533-2,394x

Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что при увеличении суммы затрат на расширение производства на 1 млн. руб., средняя цена единицы товара в среднем уменьшится на 2,394 руб.

Для расчета коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации заполняем столбцы 7-9 расчетной таблицы 1.

Средняя ошибка аппроксимации вычисляется по формуле (2):

Ā=                                           (3)

Ā==9,710.

Модель хорошо подобрана к выборочным данным, т.к. Ā не превышает 10%.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции (4):

                                           (4)

rxy=-0.863

Коэффициент регрессии:

R2=rxy2=(-0.863)2=0.744

Это означает, что 74% вариации средней цены товара (y) объясняется вариацией фактора x – суммы затрат на расширение производства.

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F- критерия определяется по формуле (5)

F=                                                     (5)

где  n – число наблюдений,

F==23,263

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтаб=5.32. Так как F=23.263≥Fтаб=5,32, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

2.      Выборочное уравнение гиперболической регрессии имеет вид:

Ӯ=b0+.

Сведем модель к линейному виду, для этого введем переменную z.

z=, следовательно уравнение регрессии примет вид: Ӯ=b0+b1z, параметры  находятся аналогично пункту 1.

Составим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

Параметры регрессии вычисляем по формуле (1) и (2):

b1===116.928.

b0=-b1z=59.2-116.928*0.146=42.076.

Получено уравнение гиперболической регрессии:

Ӯ=42,076+.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации заполним столбцы 7-9 таблицы 2.

Средняя ошибка аппроксимации находится по формуле (3):

Ā= =6,180.

Модель хорошо подобрана к выборочным данным, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле (4)

0,965.

Коэффициент регрессии:

R2=rxy2=(0,965)2=0,930

Это означает, что 93% вариации средней цены товара (y) объясняется вариацией фактора x – суммы затрат на расширение производства.

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F- критерия определяется по формуле (5)

F===107,066.

F=107,066

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтаб=5.32. Так как F=107,066≥Fтаб=5,32, то уравнение гиперболической регрессии признается статистически значимым.

3.      Обе модели имеют приблизительно одинаковые характеристики, но модель гиперболической регрессии считается лучшей, так как коэффициент регрессии равен 0,930 (а это больше чем в линейной модели регрессии), а средняя ошибка аппроксимации равна 6,18 (соответственно меньше чем в линейной модели регрессии).

Задача 2. Множественный регрессионный анализ

По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника Y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов X1 ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих X2 ().

Требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл параметров уравнения. Найти коэффициент множественной детерминации, в том числе скорректированный. Сделать выводы

2. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера на уровне значимости α = 0,05.

3. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

4. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

Решение:

1.Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу 3

Таблица 3

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

==2,872;

==1,895;

9,133.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии Ӯ=b0+b1x1+b2x2

необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров b0, b1, b2 или воспользоваться формулой (6).

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

rx1y===0.979,

rx2y===0.917,

rx1x2===0.970.

Находим по формуле (6) коэффициенты чистой регрессии и параметр а:

b1===2.293,       (6)

b2===-0.173,

b0=Ӯ-b1x1-b2x2=10.500-2.293*6.740+0.173*24.300=-0.746.

Таким образом получили следующее уравнение множественной регрессии:

Ӯ=-0,746+2,293x1-0.173x2.

Уравнение регрессии показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% (при неизменном уровне удельного веса рабочих высокой квалификации) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 2,293 тыс. руб, а при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% (при неизменном уровне ввода в действие новых основных фондов) выработка продукции на одного рабочего уменьшается в среднем на 0,173 тыс. руб.

После нахождения уравнения регрессии составим новую расчетную таблицу для определения теоритических знаний результативного признака, остаточной дисперсии и средней ошибки аппроксимации.

Таблица 4

Остаточная дисперсия:

==0,193.

Средняя ошибка аппроксимации:

Ā===9,048.

Качество моделей, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%.

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

rx1y=0,979, rx2y=0,917, rx1x2=0,970.

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы x1 и x2 явно коллинеарные, т.к. rx1x2=0,970≥0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Коэффициент множественной корреляции определяется через матрицы парных коэффициентов корреляции по формуле (7):

Ryx1x2= (7),

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции,

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Находим

=1(1-0,9702)-0,979(0,979-0,970*0,917)+0,917(0,979*0,970-         -0,917)=0,0014.

=1-0,970*0,970=0,0594