Параметрическое моделирование систем

       ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЛИПЕЦКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

                    Кафедра физики и биомедицинской техники

 
 
 
 
 
 
Индивидуальное  задание

по курсу «Моделирование биологических процессов и систем»

на тему «Параметрическое моделирование систем»

 
 
 
 
 
 
 
 
Выполнила:   Чепыгова О.Н 
Проверила: Батищева Ю. Н. 
 
 
 
 

Липецк 2009

Рассмотрим  подход, основанный на моделировании, когда для представления процесса или системы, генерирующих изучаемый  сигнал, используется явная математическая модель. В этом случае исследуются  параметры модели с целью их последующего использования в анализе сигналов, в распознавании образов и  в процессе принятия решений. Параметры  модели также могут быть связаны  с физиологическими или патологическими  аспектами соответствующих систем. Подход, основанный на параметрическом  моделировании, часто позволяет  получить компактное и эффективное  представление сигналов и систем.

   Исследуем методы для параметрического моделирования и анализа, которые, хотя изначально и базируются на моделях и данных временной области, дают возможность параметрической оценки спектральных свойств сигналов и систем.

   Задача. Исследовать возможность параметрического моделирования характеристик сигнала с использованием обобщённой модели линейной системы.

   Решение. Разностное уравнение, которое описывает выход обобщённой линейной инвариантной к сдвигу (или инвариантной ко времени) дискретно-временной системы, задаётся следующим образом: 

   (1)

где =1.

Преимущество  отрицательного знака перед операцией суммирования с параметром а_k станет понятным позже в этом разделе; в некоторых случаях при описании модели используют положительный знак, что не имеет существенного значения для всех последующих математических выводов. Входным сигналом этой системы является x(n); выходным сигналом является y(n); параметры b _l ,l=0,1,2,…,Q, показывают, как текущий и Q последних отсчётов входного сигнала комбинируются линейно для генерации текущего выходного отсчёта; параметры a _k  ,k=1,2,…,P, показывают, как последние P отсчётов выходного сигнала линейно комбинируются (в цепи обратной связи) для формирования текущего выходного отсчёта; G — коэффициент усиления; Р и Q определяют порядок системы. Суммирование по х представляет собой часть системы, называемую скользящим средним (СС, MA, moving-average); суммирование по у представляет собой часть системы, называемую авторегрессией (АР, AR, autoregressive); вся система целиком может рассматриваться как комбинированная система авторегрессии — скользящего среднего, или система АРСС (ARMA system). Часть системы, содержащая обратную связь, делает импульсную характеристику этой системы бесконечно длинной; в этом случае система может рассматриваться как БИХ-фильтр ( фильтр с бесконечной импульсной характеристикой).

   Уравнение (1) показывает, что выходной сигнал системы является простой линейной комбинацией текущего входного отсчёта, нескольких последних входных отсчётов и нескольких последних выходных отсчётов. Использование последних входных и выходных отсчётов при вычислении текущего выходного отсчёта представляет собой память системы. Эта модель также показывает, что текущий выходной отсчёт может быть предсказан как линейная комбинация текущего отсчёта, нескольких последних входных отсчётов и нескольких последних выходных отсчётов. По этой причине данная модель часто называется моделью линейного предсказания (ЛП, linear prediction, LP).

   Применяя  z-преобразование к уравнению (1), получаем передаточную функцию системы в виде:

   (2)

Преимущество  отрицательного знака перед суммированием с коэффициентами a _k   в уравнении (1) здесь проявляется в том, что числитель и знаменатель стали в уравнении (2) симметричны. Данная система полностью характеризуется параметрами a _k ,k=1,2,…,P, b _l ,l=1,2,…,Q, и G. В большинстве применений коэффициент усиления G не является существенным; следовательно, если исключить коэффициент усиления, то система полностью характеризуется параметрами а и b. Разложим полиномы, содержащиеся в числителе и знаменателе уравнения (2), и выразим передаточную функцию следующим образом:

   (3)

где z _l ,l = 1,2, ...,Q, представляют собой нули системы и р _k , k = 1,2,...,P, - полюса системы. Такую модель теперь можно назвать полюсно-нулевой моделью (pole-zero model). Из уравнения (3) видно, что данная система (если не учитывать коэффициент усиления) может быть полностью охарактеризована её полюсами и нулями.

   Уравнения (1), (2) и (3) демонстрируют применимость одной и той же концептуальной модели как во временной, так и в частотной областях. Параметры a и b непосредственно применимы как во временной области, так и в частотной области — для отношения вход-выход или передаточной функции системы. Рассмотрение полюсов и нулей более характерно для частотной области, хотя вклад каждого полюса или нуля в импульсную характеристику во временной области для данной системы может быть получен непосредственно из координат на z -плоскости .

Имея  какой-нибудь входной сигнал x(n) и соответствующий выходной сигнал системы y (n),можно получить их z-преобразования X(z) и Y(z) и, следовательно, получить в некоторой форме передаточную функцию системы H(z).Трудности возникают при величинах z, для которых   X(z) = 0; поскольку система является линейной и Y(z)= H(z)X(z), то в таких точках имеем также Y(z) — 0. Тогда H(z) не может быть определена при соответствующих величинах z. Простейшим тестовым сигналом является единичная импульсная функция x(n) — δ(n), для которой X(z) — 1 для всех z : отклик линейной инвариантной к сдвигу системы на импульс полностью характеризует систему соответствующей последовательностью y(n) = h(n) или её эквивалентном в z-области H(z).