Определение оптимального плана замены оборудования

     Чтобы это можно было осуществить практически, необходимо дать математическую формулировку принципа оптимальности. Для этого введем некоторые дополнительные обозначения. Обозначим через F_n(X⁰)  максимальный доход, получаемый за n шагов при переходе системы S из начального состояния X⁽⁰⁾ в конечное состояние X^(k) при реализации оптимальной стратегии управления U=(u₁, u₂, …, u_n), а через F_n-k(X^(k)) –максимальный доход, получаемый при переходе из любого состояния X^(k) в конечное состояние X⁽ⁿ⁾ при оптимальной стратегии управления на оставшихся n-k шагах. Тогда: 

;                           (1.4)

  ( ).                  (1.5) 

     Последнее выражение представляет собой математическую запись принципа оптимальности и  носит название основного функционального  уравнения Беллмана или рекуррентного соотношения. Используя данное уравнение можно найти решение задачи динамического программирования.

     Полагая k=n-1 в рекуррентном соотношении (1.5), получим следующее функциональное уравнение:  

                                (1.6) 

     В этом уравнении F₀(X⁽ⁿ⁾) будем считать известным. Используя теперь уравнение (1.6) и рассматривая всевозможные допустимые состояния системы S на (n-1)-м шаге X₁^(n-1), X₂^(n-1), …, X_m^(n-1), …, находим условные оптимальные решения

 

     и соответствующие значения функции (1.6) 

 

     Таким образом, на n-м шаге находим условно оптимальное управление при любом допустимом состоянии системы S после (n-1)-го шага. То есть, в каком бы состоянии система ни оказалась после (n-1)-го шага, будет известно, какое следует принять решение на n-м шаге. Известно также и соответствующее значение функции (1.6). Рассмотрим функциональное уравнение при k=n-2: 

                             (1.7) 

     Для того чтобы найти значения F₂  для всех допустимых значений X^(n-2), необходимо знать W_n-1(X^(n-2), u_n-1) и F₁(X^(n-1)). Что касается значений F₁(X^(n-1)), то они уже определены. Поэтому нужно произвести вычисления для W_n-1(X^(n-2),    u_n-1)  при некотором отборе допустимых значений X^(n-2) и соответствующих управлений u_n-1. Эти вычисления позволят определить условно оптимальное управление u⁰_n-1 для каждого X^(n-2). Каждое из таких управлений совместно с уже выбранным управлением на последнем шаге обеспечивает максимальное значение дохода на двух последних шагах.

     Последовательно осуществляя описанный выше итерационный процесс, дойдем до первого шага. На этом шаге известно, в каком состоянии  может находиться система. Поэтому  уже не требуется делать предположений о допустимых состояниях системы, а остается лишь только выбрать управление, которое является наилучшим с учетом условно оптимальных управлений, уже принятых на всех последующих шагах.

     Таким образом, в результате последовательного  прохождения всех этапов от конца к началу определяется максимальное значение выигрыша за n шагов и для каждого из них находим условно оптимальное управление.

     Чтобы найти оптимальную стратегию  управления, то есть определить искомое  решение задачи, нужно теперь пройти всю последовательность шагов, только на этот раз от начала к концу. А именно: на первом шаге в качестве оптимального управления u₁* возьмем найденное условно оптимальное управление u₁⁰. На втором шаге найдем состояние X₁*, в которое переводит систему управление u₁*. Это состояние определяет найденное условно оптимальное u₂⁰ , которое теперь считается оптимальным. Зная u₂*, находим X₂*, а значит, определяем u₃* и т.д. В результате этого найдется решение задачи, то есть максимально возможный доход и оптимальную стратегию управления U*, включающую оптимальные управления на отдельных шагах: U*= (u₁*, u₂*,…, u_n*).

 

Глава 2. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов 

     К началу планируемого периода на предприятии  установлено новое оборудование, позволяющее за каждый год восьмилетнего периода выпустить готовой продукции на сумму соответственно 25, 24, 24, 23, 23, 23, 22, 21, 20, 20, 20 тыс.д.ед. Ежегодные затраты предприятий, связанные с содержанием и ремонтом используемого аналогичного оборудования за тот же период времени представлены в приложении 1. Затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентично с установленным, составляют 10 д. ед., использованное оборудование списывается.

     На  основе  статистической обработки, результаты которой сведены в таблицу 2.1,  можно построить графическую зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде.

     Таблица 2.1

Зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде.  

Рис.2.1. Зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде. 

     Из  графика видно, что затраты на содержание и ремонт оборудования в  планируемом периоде с каждым годом растут, потому что оборудование стареет.

     Данная  задача относится к задачам динамического программирования, потому что выполняются два условия это: аддитивность целевой функции; отсутствие последствия, которое строится на принципе оптимальности Беллмана.

     В этой задаче  в качестве системы  S выступает оборудование. Состояние этой системы определяются фактическим временем использования оборудования (его возрастом) t, то есть описываются единственным параметром t.

     В качестве управлений выступают решения  о замене и сохранении оборудования, принимаемые в начале каждого  года. Обозначим через X^c решение о сохранении оборудования, а через X^з – решение о замене оборудования. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за восемь лет является максимальной.

     Эта задача обладает свойствами аддитивности и отсутствия последействия. Следовательно, ее решение можно найти с помощью  алгоритма, реализуемого в два этапа. На первом этапе при движении от начала 10-го года периода к началу 1-го года для каждого допустимого состояния оборудования найдем условное оптимальное управление (решение), а на втором этапе при движении от начала 1-го года периода к началу 10-года из условных оптимальных решений для каждого года составим оптимальный план замены оборудования на десять лет.

     Для определения условных оптимальных  решений сначала необходимо составить  функциональное уравнение Беллмана. Так как было предположено, что  к началу k-го года (k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) может приниматься только одно из двух решений – заменять или не заменять оборудование. 

2.1. Нахождение условного  оптимального решение  задачи 

     Используя теперь уравнение (1.2) , находим решение исходной задачи. Это решение начинается с определения условно оптимального управления (решения) для последнего (10-го) года периода, в связи с чем находим множество допустимых состояний оборудования к началу данного года. Так как к началу периода имеется новое оборудование (t =0), то возраст оборудования к началу 10-го года может составлять 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 лет. Для каждого из этих состояний найдем условно оптимальное решение и соответствующее значение функции Z^*₁₀(t).

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

     Полученные  результаты сведены в таблицу 2.2.

     Таблица 2.2

Возможное состояние оборудование к началу 10-го года периода 

 

     Рассмотрим  возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода и найдем соответствующие значения функции Z^*₉(t).

     Полученные  результаты записаны в таблице 2.3.

     Таблица 2.3

Возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода 

 

     Определим условно оптимальное решение  для каждого из допустимых состояний  оборудования к началу 8-го года периода.

     Полученные  результаты сведены в таблицу 2.4

     Таблица 2.4

Возможное состояние оборудование к началу 8-го года периода