Область применения методов линейного программирования и преимущества их использования

(2.10)

(2.11)

Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом. Опорный планявляется допустимым решением ТЗ и используется в качестве начального базисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов. Существует четыре метода нахождения опорных планов:

1. метод северо-западного угла;

2. метод минимального элемента;

3. метод двойного предпочтения;

4. метод штрафов (Фогеля).

"Качество" опорных планов, полученных  этими методами, различается: в общем  случае метод Фогеля дает наилучшее  решение (зачастую оптимальное), а  метод северо-западного угла–  наихудшее.

Все существующие методы нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клетки для заполнения. Само заполнение происходит одинаково независимо от используемого метода. Следует помнить, что перед нахождением опорного плана транспортная задача должна быть сбалансирована.

В методе северо-западного угла из всех не вычеркнутых клеток выбирается самая левая и верхняя (северо-западная) клетка. Другими словами, на каждом шаге выбирается первая из оставшихся не вычеркнутых строк и первый из оставшихся не вычеркнутых столбцов.

Для того чтобы заполнить клетку (i,j), необходимо сравнить текущий запас товара в рассматриваемой i-й строке с текущей потребностью в рассматриваемом j-м столбце. Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы. [3 c.137]

В методе минимального элемента первой клеткой выбирают клетку с наименьшей суммой доставки и заполняют ее максимально возможным грузом.

Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем: в каждой строке и каждом столбце отмечают «V» наименьшую стоимость, а затем клетки с двойным символом «VV» заполняют с учетом наименьшей стоимости. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком «V». В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

На каждом шаге метода Фогеля для каждой i-й строки вычисляются штрафы, как разность между двумя наименьшими тарифами строки. Таким же образом вычисляются штрафы для каждого j-го столбца. После чего выбирается максимальный штраф из всех штрафов строк и столбцов. В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом. Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом.

Если клеток с минимальным тарифом также несколько, то из них выбирается клетка (i,j) с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой штрафов по i-й строке и j-му столбцу.

Если план транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система из m+n чисел Ui и Vj, удовлетворяющих условиям: Ui+Vj=Cij для занятых клеток и Ui+Vj≤Сij в свободных клетках. Числа Ui и Vj называются потенциалами соответственно поставщиков и потребителей. При решении одному неизвестному потенциалу придается произвольное значение. [3 c.141]

 

 

3. Оптимизация прибыли с применением  метода линейного программирования

3.1 Постановка задачи и формирование  оптимизационной модели 

Предприятие реализует товары трех групп. Известны нормативы затрат ресурсов Aij в расчете на единицу товара и ограничения по располагаемым ресурсам, которые приведены в (табл. 3.1)

Таблица 3.1

Нормативы затрат ресурсов и ограничений

Ресурсы	Нормативы затрат ресурсов по продаже товаров
	Aj	Bj	Cj
Рабочее время, чел.ч.	А11=0,1	А12=0,2	А13=0,4
Площадь торговых помещений, м2	А21=0,05	А22=0,02	А23=0,02
Издержки обращения на ед. товара, руб.	А31=3	А32=1	А33=2
Доход на единицу товара, руб.	С1=3	С2=5	С3=4
План продажи, ед.	X1	X2	X3

Ограничение объемов ресурсов составляют: ресурс первого вида ≤ 1300, ресурс второго вида ≤ 140, ресурс третьего вида ≤8200.

Необходимо составить оптимальный план товарооборота по критерию максимума дохода.

Это классическая задача линейного программирования о наилучшем использовании ресурсов. В данной задаче также будет присутствовать целочисленное программирование, т.к. продукция неделимая.

Составим оптимизационную модель. Запишем целевую функцию(формула 3.1), ограничения на количество ресурсов (формула 3.2) и условия неотрицательности (формула 3.3)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

3.2 Расчет и анализ результатов  оптимизации прибыли 

Первоначальный опорный план симплекс методом находится только тогда, когда в системе ограничения левые и правые части уравнения равны. Поэтому необходимо перейти от неравенств к равенствам, прибавляя к левым частям неотрицательные дополнительные переменные (дополнительным переменным в линейной функции соответствуют коэффициенты равные нулю). Следовательно, целевая функция (формула 3.4), система ограничений (формула 3.5) и условия неотрицательности (формула 3.6)примут другой вид.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Решаем задачу симплексным методом. Расчеты производим в симплекс таблице. (см. табл. 3.2)

Таблица 3.2

Первая симплексная таблица

Базис	Cj баз.	B	X1	X2	X3	X4	X5	X6
			3	5	4	0	0	0
X4	0	1300	0.1	0.2	0.4	1	0	0
X5	0	140	0.05	0.02	0.02	0	1	0
X6	0	8200	3	1	2	0	0	1
П(x)		0	-3	-5	-4	0	0	0

Этот план не является оптимальным, так как в строке «прибыль» есть три отрицательные оценки. Выбирая наименьшую оценку, находим направляющий столбец. Направляющую строку находим, поочередно деля, значение «В» i-й строки на элемент i-й строки направляющего столбца. Направляющей строкой будет та, в которой значение частного будет наименьшим. Направляющий столбец - пятый, направляющая строка первая. Разрешающий элемент находим на пересечении направляющей строки и столбца, он равен 0.2. Строим вторую симплексную таблицу. (табл. 3.3)

Таблица 3.2

Вторая симплексная таблица

Базис	Cj баз.	B	X1	X2	X3	X4	X5	X6
			3	5	4	0	0	0
X2	5	6500	0.5	1	2	5	0	0
X5	0	10	0.04	0	-0.02	-0.1	1	0
X6	0	1700	2.5	0	0	-5	0	1
П(x)		32500	-0.5	0	6	25	0	0

Этот план тоже не оптимальный, так как в строке «прибыль» еще есть отрицательные элементы. Снова находим направляющий столбец и строку. Направляющий столбец - четвертый, направляющая строка - вторая. Разрешающий элемент равен 0.04. Строим третью симплексную таблицу. (табл. 3.4)

Таблица 3.3

Третья симплексная таблица

Базис	Cj баз.	B	X1	X2	X3	X4	X5	X6
			3	5	4	0	0	0
X2	5	6375	0	1	2.25	6.25	-12.5	0
X1	3	250	1	0	-0.5	-2.5	25	0
X6	0	1075	0	0	1.25	1.25	-62.5	1
П(x)		32625	0	0	5.75	23.75	12.5	0

В результате проведения двух итераций получаем оптимальный план , которому соответствует максимальное значение линейной функции F(x)max=32625.

В итоговой строке «прибыль» на пересечении со столбцами X4 X5 X6 можно найти двойственные оценки ресурсов, которые покажут, какую прибыль приносит одна единица каждого имеющегося в наличии ресурса.

Прибыль от одного человеко-часа рабочего времени составит 23 рубля 75 копеек. Прибыль от одного квадратного метра торговых помещений равна 12 рублям 50 копейкам, а третий ресурс (издержки обращения на единицу товара) использован не полностью и прибыль от него равна 0 рублям.

Ответ: Предприятию необходимо реализовывать 250 единиц товара первой группы и 6375 единиц товара второй группы, тогда остатки третьего ресурса (издержки обращения на единицу товара) составят 1075 рублей. При этом максимальный доход будет равен 32625 рублей.

 

 

Заключение

Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Математическое программирование является одним из разделов науки об исследовании операций.

Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий), например, при решении проблем управления и планирования производственных процессов, в проектировании и перспективном планировании, в военном деле и т.д.

Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т.е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, - с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения компьютеров. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения. Проблема принятия решений в исследовании операций неразрывно связана с процессом моделирования.

Первый этап процесса моделирования состоит в построении качественной модели. Второй этап - построение математической модели paccматриваемой проблемы. Этот этап включает также построение целевой функции, т. е. такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения принимающего решения. Итак, в результате этих двух этапов формируется соответствующая математическая задача.