Линейное пространство

18 ВОПРОС

Линейное пространство

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми свойствами, называется векторным пространством. (2)

Следует отметить, что под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n. Легко убедиться, что если x и y - многочлены степени не выше n, то они будут обладать свойствами 1-8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n, не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени n. А множество многочленов степени не выше n, но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элементов на число: также многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8, вытекает существование единого нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора х на действительное число 0 и существование для каждого вектора х единственного противоположного вектора (-х), равного произведению этого вектора на действительное число (-1).

Линейное пространство (векторное) V(P) над полем P - это непустое множество V, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой  паре элементов множества ставится  в соответствие элемент того  же множества, обозначаемый x+y V и

 

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то  есть любому элементу и любому  элементу ставится в соответствии  элемент из V(P), обозначаемый .

 

При этом удовлетворяются следующие условия:

 

1. , для любых (коммутативность  сложения);

 

2. для любых (ассоциативность  сложения);

 

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности V не пусто;

 

4. для любого существует  такой элемент , что (существование противоположного элемента).

 

5. (ассоциативность умножения  на скаляр);

 

6. 1 (существование нейтрального  элемента относительно умножения).

 

7. (дистрибутивность умножения  на вектор относительно сложения  скаляров);

 

8. (дистрибутивность умножения  на скаляр относительно сложения  векторов).

 

Элементы множества V называют векторами, а элементы поля P - скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

 

Простейшие свойства.

 

1. Векторное пространство  является абелевой группой.

 

2. Нейтральный элемент  является единственным, что вытекает  из групповых свойств.

 

3. для любого .

 

4. Для любого противоположный  элемент является единственным, что вытекает из групповых  свойств.

 

5. (-1) х = - х для любого  х є V.

 

6. (-?) x = ?(-x) = - (?x) для любых ? є P и x є V.

19 ВОПРОС

.Базисом векторного пространства  называется любая упорядоченная  максимальная линейно независимая  система его векторов.

Базис -

1) максимальное по включению  линейно независимое множество  векторов

2) минимальное по включению  множество векторов, линейная оболочка  которых равна всему пространству

3) линейно независимое  множество векторов, линейная оболочка  которых равна всему пространству

(в качестве определения  можно взять любое из этих  утверждений, тогда другое будет  теоремой)

 

Размерность пространства равна мощности любого его базиса (можно доказать, что все базисы имеют одинаковую мощность)