Контрольная работа по "Экономико-математическое моделирование"

ВАРИАНТ 24

Предприятие осваивает выпуск 2-х новых изделий. Расходы по заработной плате, амортизационным отчислениям, материалам, лимиты, выделенные предприятию и прибыль на одно изделие приведены ниже. Решить задачу на максимум прибыли геометрически и аналитически, проанализировать полученные результаты.

Наименование ресурса	Расход ресурса на ед. изделия, тыс. руб.		Общий расход ресурсов, тыс.руб.
	Изделие 1	Изделие 2
Заработная плата	10	5	500
Амортизация	6	6	360
Материалы	5	8	400
Прибыль	30	25

РЕШЕНИЕ

1. Решение задачи графическим методом.

Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид: F(x) =30x1+25x2 àmax

при ограничениях:          10x1+5x2≤500

                                          6x1+6x2≤360                                       

                                          5x1+8x2≤400

 

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 30x1+25x2 → max, при системе ограничений:

10x1+5x2≤500	(1)
6x1+6x2≤360	(2)
5x1+8x2≤400	(3)
x1≥0	(4)
x2≥0	(5)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
Построим уравнение 10x1+5x2 = 500 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 100. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 50. Соединяем точку (0;100) с (50;0) прямой линией. 
Построим уравнение 6x1+6x2 = 360 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 60. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 60. Соединяем точку (0;60) с (60;0) прямой линией. 
Построим уравнение 5x1+8x2 = 400 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 50. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 80. Соединяем точку (0;50) с (80;0) прямой линией.

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 30x1+25x2 → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 30x1+25x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (30; 25). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
10x1+5x2≤500 
6x1+6x2≤360 
 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 40, x2 = 20 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 30*40 + 25*20 = 1700

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решение задачи  аналитическим методом

Двойственная задача линейного программирования. 
 Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. 
 Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 30x1 + 25x2 при следующих условиях-ограничений. 
10x1 + 5x2≤500 
6x1 + 6x2≤360 
5x1 + 8x2≤400 
 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). 
 В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5.  
10x1 + 5x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 500 
6x1 + 6x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 360 
5x1 + 8x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 400 
 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

A =	10 5 1 0 0 6 6 0 1 0 5 8 0 0 1

  Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. 
 Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. 
 Решим систему уравнений относительно базисных переменных: 
x3, x4, x5, 
 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: 
X1 = (0,0,500,360,400) 
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	500	10	5	1	0	0
x4	360	6	6	0	1	0
x5	400	5	8	0	0	1
F(X0)	0	-30	-25	0	0	0

 
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

  1. Проверка критерия оптимальности. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 
 2. Определение новой базисной переменной. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. 
 3. Определение новой свободной переменной. 
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 
и из них выберем наименьшее: 
min (500 : 10 , 360 : 6 , 400 : 5 ) = 50 
Следовательно, 1-ая строка является ведущей. 
 Разрешающий элемент равен (10) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	500	10	5	1	0	0	50
x4	360	6	6	0	1	0	60
x5	400	5	8	0	0	1	80
F(X1)	0	-30	-25	0	0	0	0

  4. Пересчет симплекс-таблицы. 
 Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x3 в план 1 войдет переменная x1. 
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=10 
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. 
В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули. 
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. 
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. 
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. 
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ 
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (10), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. 
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
500 : 10	10 : 10	5 : 10	1 : 10	0 : 10	0 : 10
360-(500 • 6):10	6-(10 • 6):10	6-(5 • 6):10	0-(1 • 6):10	1-(0 • 6):10	0-(0 • 6):10
400-(500 • 5):10	5-(10 • 5):10	8-(5 • 5):10	0-(1 • 5):10	0-(0 • 5):10	1-(0 • 5):10
0-(500 • -30):10	-30-(10 • -30):10	-25-(5 • -30):10	0-(1 • -30):10	0-(0 • -30):10	0-(0 • -30):10

 
 
Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x1	50	1	1/2	1/10	0	0
x4	60	0	3	-3/5	1	0
x5	150	0	51/2	-1/2	0	1
F(X1)	1500	0	-10	3	0	0

  1. Проверка критерия оптимальности. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 
 2. Определение новой базисной переменной. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. 
 3. Определение новой свободной переменной. 
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 
и из них выберем наименьшее: 
min (50 : 1/2 , 60 : 3 , 150 : 51/2 ) = 20 
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. 
 Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x1	50	1	1/2	1/10	0	0	100
x4	60	0	3	-3/5	1	0	20
x5	150	0	51/2	-1/2	0	1	273/11
F(X2)	1500	0	-10	3	0	0	0

  4. Пересчет симплекс-таблицы. 
Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x2. 
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=3 
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. 
В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули. 
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2. 
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. 

 

 

 

 

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
50-(60 • 1/2):3	1-(0 • 1/2):3	1/2-(3 • 1/2):3	1/10-(-3/5 • 1/2):3	0-(1 • 1/2):3	0-(0 • 1/2):3
60 : 3	0 : 3	3 : 3	-3/5 : 3	1 : 3	0 : 3
150-(60 • 51/2):3	0-(0 • 51/2):3	51/2-(3 • 51/2):3	-1/2-(-3/5 • 51/2):3	0-(1 • 51/2):3	1-(0 • 51/2):3
1500-(60 • -10):3	0-(0 • -10):3	-10-(3 • -10):3	3-(-3/5 • -10):3	0-(1 • -10):3	0-(0 • -10):3