Контрольная работа по «Экономико-математическим моделям»

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

КАФЕДРА  ЭММ 
 
 
 
 

Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математическим моделям»

Вариант № 1 
 
 
 

Исполнитель:

Специальность: Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  1

        1.1. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

    Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год? 

     Решение:

1. Введем необходимые обозначения:

Пусть X_i – вложения (количество денежных у. е.) в ценную бумагу вида i.

     i – вид ценной бумаги ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

     Х₁ – вложения в акции А,

     Х₅ – вложения в краткосрочные облигации и т. д.

C_i – доход, приносимый ценной бумагой вида i, в коэффициентах:

Например, С₂ = 0,12 – доход от акции В, и т. п.

 

Требуется найти вектор Х с координатами:

X ( X₁; X₂; X₃; X₄; X₅; X₆ ),

2) Цель  задачи: максимизировать годовой  доход от портфеля выбранных  бумаг.

F (X) = ∑ X_i  * С_i    (mах)

F (X) = 0,15 X₁ + 0,12 X₂ + 0,09 X₃ + 0,11 X₄ + 0,08 X₅ + 0,06 X₆

3. Ограничения:

• Все 300 тыс. руб. должны быть инвестированы:

• ∑ X_i = 500;
• По крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе:
• Х₆  > = 100;
• По крайней мере, 25 % средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском: т. е. X₃ должны составлять по крайней мере четверть от общей суммы вклада в акции:
• X₃   > =  0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);
• В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции:
• ∑ (X₄ ;  X₅ ) > = 0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);
• Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10 % - это акции С, краткосрочные облигации и срочный вклад:

X₃ + X₅ +  X₆  < = 125.

Значит, ограничения выглядят так:

X₁ +  X₂ + X₃ + X₄ + X₅ +  X₆ = 500;

Х₆  > = 100;

X₃   > =  0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);

∑ (X₄ ;  X₅ ) > = 0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);

X₃ + X₅ +  X₆  < = 125;

 X_i > = 0  ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

    Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) – это не более чем оценка. Оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам. Наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода ценная бумага  
 

 

   Задача 2 

  2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

    Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделий "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

     Решение:

1. Построим ЭММ задачи. Обозначим через х_i - объем выпуска готовой продукции j-го вида. С учетом критерия оптимальности «max выручки», будем иметь ЭММ задачи:

     max f (х) = 12х₁ + 7х₂ + 18 х₃ + 10 х₄

     Ограничения отражают условия ограниченности запасов  сырья.

     1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ≤ 18 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

     1х₁ + 2х₃ + 1х₂ + 1х₄ ≤ 30 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

     1х₁ + 3х₂ + 3х₃ + 2х₄ ≤ 40 - затраты 3-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

     х_j  ≥ 0,

     Реализуя  эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

 
 

     Оптимальный план выпуска продукции: Х^*= (18, 0, 0,11),

       f (Х^*) = 226 

     2. Для определения двойственных  оценок построим двойственную  задачу:

     min φ (y) = 18y₁ + 30y₂ + 40y₃

     1y₁ + 1y₂ + 1y₃ ≥ 12

     2y₁ + 1y₂ + 3y₃ ≥ 7

     1y₁ + 2y₂ + 3y₃ ≥ 18

     0y₁ + 1y₂ + 1y₃ ≥ 10

      y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0 

     Реализуя  эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение: 

 

     Чтобы оценить целесообразность включения  в план изделия четвертого вида необходимо произвести оценку затрат на единицу продукции:

   

   2*1 + 10*1 + 1*0 + 2= 14 > 12

   Изделие не выгодно включать в план, т.к. затраты  на его изготовление не покрываются  ценой продажи. 
 

   Задача 3