Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача №1

Решение:

1 .Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора Х. Это отражено в таблице №1.

Таблица №1

Построим график, с помощью которого, можно сделать  вывод о возможной связи валового регионального продукта (Y) с инвестициями в основной капитал (Х).

Рисунок 1 – Связь Х и Y

Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи валового регионального продукта (У) с инвестициями в основной капитал (X). В этом случае для описания зависимости следует построить не­сколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

2. Построим поле корреляции

Рисунок 2 – Поле корреляции результата (валовый региональный продукт) и фактора (инвестиции в основной капитал)

На основании поля корреляции можно сделать вывод , что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.

3. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: y=a0+a1*x, отражающей линейную форму зависимости результата У от фактора X

4. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка А, Дао и Да} Рас­чётные процедуры представим в разработочной таблице №2

Таблица №2

3. Расчёт определителя системы выполним по формуле:

А = л*2(*2)~ХЖ*Х;^ = 9*6373,61225,0*225,0 щ 6737,76;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

Дяо 111 * I(X2) IX <7 * Л * XX = 121,2*6373,6 - 3331,0*225,0123012,4.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

Щ = п *X(У *X) - X У * X X = 9*3331,0 - 121,2*225,0 - 2708,91.

4.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

Аа0    23012,4   ЩШ Да,    2708,91   ШШ

а =—У- =-— = 3,415;    ах-—- =--— = 0,402.

А     6737,76 А    6737,76

В конечном счёте,   получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

1 =1415 + 0,402**

В уравнении коэффициент регрессии щ Ш 0,415 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрас­тёт на 0,415 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения ао —3,415 оценивает влияние прочих факторов, оказываю­щих воздействие на объём розничного товарооборота.

5.Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преоб­разуется к виду:

—      ,Х   _______25.0

Это означает, что при изменении инвестиций в основной капитал на 1% от своей сред­ней валовый региональный продукт увеличивается на 1,007 процента от своей средней.

6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

ГУХа* ^ = 0,402 * 11110,9075       гух 2 Щ 0,824.4,04

Коэффициент корреляции, равный 0,8889, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между инвестициями в основной капитал за год и валовым региональным продуктом за год.

Коэффициент детерминации, равный 0,790, устанавливает, что ва­риация оборота розничной торговли на 79,0% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основном капитале; роль прочих факторов, влияющих на валовый региональный продукт, определяется в 21,0%, что является сравнительно небольшой величиной.

7.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение /^критерия Фишера - Рфштич. и сравним его с таблич­ным значением ~ Рщ^а, По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н0: а0 =ах = ггх в 0, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости 0=0,05).

В нашем случае, Рфакт = ———-:-= —-:-= 4,68: — = 32,8.

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 33 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систе­матического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов на­селения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным зна­чением критерия: Ртабл = 5,59 при степенях свободы 1=к-1=1 и (1./.2~п-к—9~2= 7 и уровне значимости а=0,05.

Значения Ряш6Лш представлены в таблице «Значения /^-критерия Фишера для уровня значи­мости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний...». В силу того, что Рфакт, = 32,8 > Ртабл - 5,59, нулевую гипотезу о статистической незна­чимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы до­ходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

8. Определим теоретические значения результата Утеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт. Например, И = 3,415 + 0,402 * 11,6 = 8,1. См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений У „и,. ор. и Хфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

9. Оценкудсачества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппрокси­мации:

г*

е =

факт

* 100 % = 10,9%

10. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение про­цедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования не­линейной функции У = а0 +ах *\пХ в линейную введём новую переменную Ь-\пХ, ко­торая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров моде­ли У = а0 +а{ Щ будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.

Расчётная таблица №4

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

Д ж 12,408; Аа0 щ -197,205; Аа{ 1115,787. Отсюда получаем параметры уравнения:

-197,205     1ГОЛ 115,787   Ш|

а0 I--= -15,89     ах =---= 9,332

12,408 1    12,408

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи р=0,9066 (сравните с 0,9075), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 10,5%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.

11. Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае ис­пользуются определители третьего порядка, расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5 По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по сле­дующим формулам:

I = п*Ех2*Ех4 + Ех*Ех3*Ех? + Ех*Ех3*Ех2 -Ех2*Ех2*Ех2-Ех*Ех*Ех4-Ех3*Ех3*п = = 331.854.860,7;

Ла01 2у*2&*Ех4+Ех*Ех**Е(у *х2)+Е(у*х)*Ех3*Ех?-Е(у*х*)*Ех2*Ех2--

Е(у*х) *Ех*Ех4-Ех3*Ех3*Еу = 751.979.368,8 4а1=п*Е(у*х)*Ех4 + Еу*Ех3*Ех2 + ЕхЩу*х2)*Ех2-Ех2*Е(у*х)*Ех2-Ех*Еу*Ех4 -

-Е(у*х2)*ЕхГ*п I167.288.933,1 Да2~п*Ех2*Е(у*х2) +Ех*Еух*Ех* +Ех*Ех**Еу ~Ех2*Ех2*Ху-Ех*Ех*Е(у*х2) -

- Ех3 *Е(у *х) *п = - 656.926,8 В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы: Л^= 751.979.368,8= 167.288.933,1 -656.926,8

А     331.854.860,7 331.854.860,7 331.854.860,7

Уравнение имеет следующий вид: / = 2,266 + 0,5041 * х - 0,00198 * х2. Для него показатель детерминации составляет 82,7%, Рфаюпич- 14,3, а ошибка аппроксимации е% - 10,7%. Как видим, по сравнению с линейной функцией построите уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёж­ность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели Рфактич^ 32,8, а для параболы Рфактич-- 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка ис­пользоваться не будет.

Расчётная таблица №5

12. Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует проце­дура линеаризации исходных переменных. В данном случае; выполняется логарифмирова­ние обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, где линейно свя- заны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение У = <я0 * Х"х после логарифмирования приобретает следующий вид: 1пУ = 1пя0 +ах *1пX. Порядок расчёта приведён в таблице 6.

Расчётная таблица №6

В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:

А | п * X 0п X)2 - 21п X * 21п X | 12,4075;

А1па0 =^\пУ*^(\пХ)2 ~^(ЫУ •1пЛ')*5>! 12,5371;

с   Ля, =«*Х(1пГ*Л-^п7*5>Х = 9,25642.

Параметры степенной функции составляют:

!        А1пйг0    2,5371    ЩШ Аа{    9,25642

\па--1 —1-= 0,2045    а, = —IШ —-= 0,7460.

0       А       12,4075 А     12,4075

Уравнение имеет вид: 1пУ=1п а0 + а^Ы X = 0,2045 + 0,7460*Х, а после процедуры по­тенцирования уравнение приобретает окончательный вид:

||пг =е1па0 = ]0,2045 *еш™,7«о = 2,7182821па° *2,7182821п™.7460 или

^ = ал*Хй1 | 1,2269*Х°'7Ш .

Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более на­дёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), Рфакт—^А (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,7% (сравните с 10,9% для уравнения пря­мой).

Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь зна­чительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. По­этому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, кото­рая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу ли­нейной модели:

Ъх =3,415 + 0,402 *Х

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб.на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть X = Хпрогнозн-^ 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение резуль-

тата сформируется на уровне: У =Упрогнозн =3,415+0,402* 15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост   фактора   на   5,7%   приводит   к   приросту   результата   на   4,2   процента

9 7-93 97

( ШШт * 100% |     '    ■ -100% 14,2%) . 9,3 9,3*100

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - Е^, которая формируется как|>умма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-5у и ошибки прогноза положения регрессии - //^. То есть, Щ 1 ^82у +м2г •

В„3 _      X 0 факт.    У расч.} 25,4

нашем случае 8 у ------= —■— = 3,6 , где /с- число факторов в уравнении,

п-к-1 9-1-1

которое в данной задаче равно 1. Тогда 5у - 1,9 (млрд. руб.).

/1    (X -X)2 II   (X — X)2

Ошибка положения регрессии составит:     -8^* ШШт--==^г = ^ * —*-—   /   щ

У     7  §§ Х№-1)2     У  Щ    п*а2

' =0,914 (млрд. руб.).

748,6

Интегральная ошибка прогноза составит: Еу~ = ^82г + /л2у = 7з,6+0,9142 = (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: АУ -1табличн *ЕГ I 2,365*2,1 = 5,011 | 5,0 (млрд. руб.). Табличное зна­чение /-критерия для уровня значимости а=0,05 и для степеней свободы п-к-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит ± 5,0 млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном ин­тервале у - У ± АУ . Верхняя граница доверительного интервала составит

утЮ1 = У + АУ = 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.). Нижняя граница доверительного интервала составит: Гт1п = У- АУ I 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).

у

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: й 1 тах =

У гот

14 7

—— = ЗД2 раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то 4,7

есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с вы­сокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с г'= 14%), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача №2.

Выполняется изучение социально-экономических процессов в регионах Южного феде­рального округа РФ по статистическим показателям за 2000 год. 1|р оборот розничной торговли, млрд. руб.; X! - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.; Х2 - средний возраст занятых в экономике, лет Х3 - среднегодовая численность населения, млн. чел. Требуется изучить влияние указанных факторов на оборот розничной торговли.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил наличие двух территорию (Краснодарский край и Ростовская обл.) с аномальными значениями признаков. )ти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых по­казателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения: А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических откло­нений -о: N■=10.

Б) - коэффициентов частной корреляции

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколли-неарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную мо­дель.

2. Выполните расчет бета коэффициентов (/3) и постройте с их помощью уравнение множест­венной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета ко­эффициентов (/?) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям Д-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть аь а2, и а0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -     .

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью К и Я2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через /^критерий Фишера (для уровня значимо­сти а=0,05).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата У% , предполагая, что прогнозные значения факторов (5су )составят 101,3 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской. Решение.

1. Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что оборот розничной торговли -У более тесно связан со средне­годовой численностью населения-Х3 (гуХз =0,889 \) и с инвестициями 2000 года в ос­новной капитал - Х7 (г   = 0,7938,); наименее тесно результат У связан со средним

возрастом занятых в экономике —Х2. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х2, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Прове­рим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреля­ции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата У со среднегодовой численностью населения (г *ХЛ =0,8511) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями ИНН =0,4726) и со средним возрастом занятых (гуХг* =0,5169). Поэтому для уточне­ния окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции У с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для У с Х1 и с Х3, а также для УсХ2нХ3.

Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

ЩЛ   Гух3  ГХХХ2             0,7938-0,8891*0,6693 У :   , = ■ . -- - 0,584

г Уз   ГУХ1*ГХ,Х3      =    0,8891-0,7938*0,6693    _07д2

ЩШ   УХз**'~У'-2^1)*о-'2зд)",/(,"0'79382).(|"0,бв9з2)"'   да  Ш,

г Гхххъ~Гухх  Гухъ      _    0,6693-0,7938*0,8891

Как видим, факторы X) и Х3, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой практически не взаимодействуют

Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результа­там:

ГУ*1 ВЯЕ *Г*2*з 0,2916-0,8891*0,0113

ух2*х3

■   I--1-    ■    -  с.............— ■ ■ . ■     - = и,о 1 э

р-г2уХз ЩИ )       - <УИ91*)*0 -о,о, р

= 0,926

=        ГУ*3    ГУХ2*ГХ2Х3        =     0,8891 -0,2916 * 0,0113

*

Гх2хъ~Гух2   Гухг 0,0113 - 0,2916 * 0,8891 Й8

ХЛ   У     ^\-Г2уХ1У{1'Г1уХъ)     л/0 - 0,2916 *)• (1 - 0,8891 *)

В   данном   случае,   межфакторное   взаимодействие   оценивается   как   заметное   ( (Мн ~ ~0,567) и по абсолютной величине сравнимо с теснотой связи розничного товаро­оборота со средним возрастом. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X] и Х3) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к ис­ходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать Х1 и Х3 в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии. 2. При построении двухфакторной регрессионной модели У = а0 +а1х1 +аъхъ воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае исход­ное  уравнение  приобретает  вид:   (у =Рух{ ЩШ + /Зухз *(хъ.  Выполним  расчёт Р~

коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции. п       гух1-гух3*гх1х3    0,7938-0,8891*0,6693   Ш!

Р—---=---~ и, Зои >

1  г2 1-0,66932

1—Г  х\х3

о    _ гух3 ~гух\ *гх[х3    0,8891-0,7938*0,6693   л-.0.

РщШ — а--;-- 0,648 •>

ух*        1  „2 1-0,66932

В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:

/,=0,360*^ + 0,648%з

Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций в основной капитал на одну сигму ЯВ (от своей средней) оборот розничной торговли увеличится на 0,360 своей сигмы (ау); с увеличением среднегодовой численности населения на резуль­тат увеличится на 0,648ау.Сравнивая /?-коэффициентов, определяем, какой из призна­ков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае увеличение розничного товарооборота происходит, прежде всего, под влиянием увеличения численности на-селения и в меньшей степени - в результате увеличения инвестиций в экономику ре­гиона.

3. Используя значения коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естест­венной форме:

4.

«1 =       * — = 0,360*^ I 0,613; «3 = Л» * ~ = 0,648*щ6,328; 1      у 1   а 5,16 3   ^**3   а 0,901

«о ШЯ *^~«з *Д^ = 8,88-0,360*5,55-6,318*1,160 = -1,849. В конечном счёте, имеем уравнение:        — — 1,849 + 0,613 * х1 Ц 6,318 * лг3. По значениям

коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяет­ся результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением инвестиций в экономику на 1 млрд. руб. розничный товарооборот увеличивается на 0,613 млрд. руб., с увеличением численности населения на 1 млн. чел. розничный товарооборот возрастает на 6,318 млрд. руб.

Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результа­том дают коэффициенты эластичности и /? - коэффициенты.

4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластич­ности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае расчёт показал, что влияние численности населения на розничный товарооборот оказалось более сильным по сравнению с влиянием инвестиций в экономику: с ростом численности населения на 1% розничный товарооборот увеличивается на 0,825%, а при увеличении инвестиций на 1% розничный товарооборот возрастает на 0,383%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат в два с лишним раза сильнее, чем вто­рой. Поэтому регулирование величины розничного товарооборота через численность населения будет более результативным, чем через объём инвестиций в экономику ре­гиона.

— *\ 5 549 — 1160

Эух =в1 *-=!- = 0,613*^1 = 0,383; Эмс, =«3 *-^- = 6,318*-^- = 0,825. Ц     1    I 8,878 У 3     3    у 8,878

6. Тесноту выявленной зависимости розничного товарооборота от инвестиций в экономику

региона и от численности населения оценивают множественный коэффициент корреляции

и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значе­ния линейных коэффициентов парной корреляции и /? - коэффициентов. Кух = ^тгух.*рух.. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следую­щим образом:

Щ| - ^ухх *Рухх +гухз *рухъ = ,/0,7938*0,360+0,8891*0,648 = <Д§620 - 0,9285.

Я2ух]ХЗ =0,8620.

Как показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость розничного товарообо­рота от численности населения и размеров инвестиций в экономику региона. Это оз­начает, что 86,2% вариации розничного товарооборота определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 13,8% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна. 1. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположе-ние о случаейной природе полученных результатов. То есть, н0 : «0 = «11 а3 = н уХ\хъ 10.

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется /г-критерия Фишера. Его фак­тическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и останочной диспер­сий и их степеней свободы: а\£г=*к и (1./.2~п-к-1; где: п —число изучаемых единиц; к — число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показате­ля. Здесь к равно числу факторов уравнения, то есть к=2.

Р      = К2ух1       *   ■ факт   Х-К2^ »-к-\

В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

Р      = ШЁ  •    |    =°>Ш.    2    г,.219

факт. ■ п_к_{    ЩШ   Ю-2-1 I

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 22 раза больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систе­матических факторов.

Для принятия обоснованного решения Гфшапич. сравнивается с Гришин; которое формиру­ется случайно и зависит степеней свободы факторной |Ц = А') и остаточной ШЖ2 = п~н-1) дисперсий, а также от уровня значимости а=0,05. В нашем примере, где *£//=Л= 2 и (1/.2~п-к-1 = 10-2-1-7 при а=0,05 FwаfoI = 4,74. См. табл. приложения 1. В силу того, что Рфактич ~21,9> - 4,74, можно с высокой степенью надёжности отклонить нуле-

вую гипотезу, а в качестве альтернативы — согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами. 8. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравни­тельно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака Xj , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения резуль­тата - ур. При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогноз­ное значение каждого из факторов, то есть Н и Щй, получено на основе среднер величи­ны: х1{ = хг * 1,013 = 5,549* 1,013 = 5,621.       Щ =х3 * 1,013 = 1,160* 1,013 = 1,175.

После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

УХ{ Щ1 Ш -#,849 + 0,613 * 5,621 + 6,318 * 1,17519,02 (млрд. руб.)

Если инвестиции в экономику региона возрастут до 5,621 млрд. руб., а численность населения составит 1,175 млн. чел, тогда следует ожидать, что розничный товаро­оборот возрастёт до 9,02 млрд. руб., то есть увеличится на 1,6% от своего среднего уровня.

Задача №3.

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показате­лей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Цен­трального федерального округа.

У] - стоимость валового регионального продукта, млрд. руб

У2 - среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс руб. Х[ - инвестиции текущего, 2000, года в основной капитал, млрд. руб.; Хг - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.; Хз -.доля занятых в экономике в общей численности населения, %; Рабочие гипотезы:

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями при­знаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводи­мых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффици­ентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -о: N«=15.

Для проверки рабочей гипотезы №1.       Для проверки рабочей гипотезы №2.

Задание:

1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.

2. Определите вид уравнений и системы.

3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

■ определите бета коэффициенты (р) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;

- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;

- рассчитайте параметры а/, а2 и ао   уравнений множественной регрессии в естественной форме;

- с помощью коэффициентов парной корреляции и р коэффициентов рассчитайте для каждо­го уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (/?) и детерминации (Я2);

- цените с помощью Р-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.

4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.

Решение:

1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через Ь , коэффициен­ты при экзогенных переменных - через а. Каждый коэффициент имеет двойную индекса­цию: первый индекс - номер уравнения, второй - индивидуальный номер признака. Тогда:

1*1 = «10 + «11 *Х\ + «12 *Х2 1*2 =«20 I *21 * | + «23* *3

2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены переч­нем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная перемен­ная щт значения которой формируются в условиях данной системы., а именно, в предыду­щем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивны­ми. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.

3. Выполним расчёт /^-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:

= 0,8171-0,8498*0,7Ш = 0,8498-0,8171*0,7823

ЩШ 1-0,78232 Щ 1-0,7823*

По полученным результатам построено уравнение в стандартизованном виде:

/Л 10,3925 * йс, + 0,5247 * (х2

По данным первого уравнения сделаем вывод, что инвестиции текущего года в основной капитал (Ща влияют на стоимость валового регионального продукта Щ] слабее, чем среднегодовая стоимость основных фондов щ в экономике (хг), ж т.к. Щ = 0,3925 </3Х2 =0,5247.

Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:

^ 06043 -0.6712 * 0,2519 = 0,6712-0,6043*0,2519

ИН 1-0,25192 11 1-0,25192

Второе уравнение в стандартизованной форме имеет вид: ($Уг- 0,4647 * Ш +0,5541 * Ш.

Из второго уравнения очевидно, что на уровень среднемесячной заработной палаты бо­лее сильное влияние оказывает доля занятых, и менее сильное — стоимость ВРП.

4. Расчёт параметров уравнения регрессии в естественной форме даёт следующие результа-

ты: д.. = Я   . * ^ = 0,3925 *-^-^ = 1,15 11 ах 2,4666

о» 7 2743

«12 =Л, * —^0,5247*   '       =0,13 °х2 30,0303

«ю = У ~ «п *I ~«12 *х2 = 23,77-1,15*5,6 - 0,13* 115,833 - 2,27. По полученным результатам построено уравнение №1 в естественной форме:

^ =2,27 + 1,15* 1 +0,13*л:2. Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличи­тельная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступа­ют не фактические значения у{, а его теоретические значения Щ, полученные расчёт­ным путём при подстановке в уравнение № 1 фактических значений факторов х1 и х2. Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

0,554. ШЙШШШН 0.4547 * ШЁ 0,051 «20 =У2~ Щ *У\- «23 * *з = 1,5533 - 0,017 * 23,77 - 0,05 * 44,23= -1,06>. По   полученным   результатам   построено   уравнение   №2   в   естественной   фор­ме: ^2 = -1,<Ц +0,017*^ +0,05* х3.

Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:

Г^, = 2,27 + 1,15 *х, +0,13*д:2 \)2 =-1,06 + 0,017*}, +0,05*л:3

Значения коэффициентов регрессии каждого из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения 0 -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - ЭухХ^, ЭУхХг, Эух^ и Щж. 3. Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации. $Щ = 71 Р*х> * гУ1х; = л/0,3925 * 0,8171 + 0,5247 * 0,8498 = Д767 = 0,876.

Яум | рУ1Ух*гуХ+Ругъ*Гу2Х> 1 л/0,4647* 0,6043 + 0,5541* 0,6712 = ^0^53 = 0,808. В первом уравнении факторы хх и х2 объясняют 76,7% вариации стоимости валового регионального продукта, а 23,3% его вариации определяется влиянием прочих факто­ров.

Во втором уравнении переменные уг и х3 объясняют 65,3% изменений заработной платы, а 34,7% изменений заработной платы зависят от прочих факторов. Обе рег­рессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного ком­плекса

6.Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые ги­потезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими за­висимостей:

^о(1) ■' Я(о = 0 и Я0(2) : Я(2) 10. Для проверки нулевых гипотез используется ^-критерий Фишера. Выполняется расчет его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По ре­зультата сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы. В нашей задаче:

V =   ЁЯ   •      *      =   0/767   ■      2      =,107-  Р =   °'653   - 2 -1п

*».(!)   {_кг{х)-п_к_х   1-0,767 15-2-1       '' г*""-(2>   1 _ 0?653 12   Ш

Табличные значения /^-критерия формируются под влиянием случайных причин и зависят от трёх условий: а) от числа степеней свободы факторной дисперсии - а'./., = к, где к 1 число факторных переменных в модели; б) от числа степеней свободы остаточной диспер­сии - й./.2 | п - к -1, где п - число изучаемых объектов; в) от уровня значимости а, кото­рый определяет вероятность допустить ошибку, принимая решение по нулевой гипотезе. Как правило, значение а берут на уровне 5% (а =0,05), но при высоких требованиях к точности принимаемых решений уровень значимости составляет 1% (а =0,01) или 0,1% ((а =0,001).

Значения Р^бл. представлены в таблице «Значения /^-критерия Фишера». (См. приложение 1 данных «Методических указаний...»).

В рассматриваемой задаче Г^,^ для а./. х -к-2, 4./.2 =п-к-1 = 15-2-1 = 12 и а =0,05 соствляет 3,88. В силу того, что РфактХ]) -19,7 > =3,88 нулевую гипотезу о статисти­ческой незначимости характеристик уравнения №1 следует отклонить, то есть Я0(1) => (-). Аналогичное решение принимается и относительно второй нулевой гипотезы, т.к.

рфакт{2) = П,3 > РтаГ>л = 3,88. То есть, Я0(2) => (-).Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частно­сти, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслу­чайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической рабо­те и в прогнозных расчётах среднемесячной заработной платы и стоимости валового ре­гионального продукта, которые основаны не только на влиянии хьх2,х3, но и на влия­нии эндогенной переменной у\. Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.

Задача №4.

Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических характеристик региона за период.

V! - инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб. У2 - стоимость продукции промышленности и АПК в текущем году, млрд. руб. Уз - оборот розничной торговли в текущем году, млрд. руб. XI - инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб. х2 - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб. х3 - среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел. Приводится система рабочих гипотез, которые необходимо проверить.

Г 7, = /(У2,х1,х2,х3); |г2=ДГ1?*2,*3);    .

Задание

1. Используя рабочие гипотезы, постройте систему уравнений, определите их вид и проведи­те их идентификацию.

2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и систе­мы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументи­руйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез.

3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК. двухшаговый МНК).

Решение.

1. В соответствии с предложенными рабочими гипотезами построим график, отображающий связи каждой из представленных переменных с другими переменными. См. рис. 2. Отли­чительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зави­симостей между переменными Уь У? и К> Указанная особенность характерна для так на­зываемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят: а) эндоген­ные переменные (У), значения которых формируется в условиях данной системы призна­ков и их взаимозависимостей и б) экзогенные переменные (х„), значения которых форми­руются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участ­вуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через ат,., коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через , где /-число изучаемых объектов; т ~ число экзогенных переменных, которые обычно обозначают через х; /- число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через У. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию: I) - номер эндо­генной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата; 2) - номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступаю­щей в качестве фактора.

В пашей задаче система уравнений для описания выдвигаемые рабочие гипотезы будет иметь следующий вид:

(У{ = ап *У2+Ьп*х1+Ь12*хг+ Ьп * *3

У 2 = «21**1 + ^22**2+^23**3

Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и всей системы для от­вета на вопрос - имеют ли решения каждое из уравнений и система в целом. Воспользу­емся счётным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных в данном уравнении - Ун и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня - х0. Для удобства анализа представим результаты в таблице.

Результаты идентификации структурных уравнений и всей системы.______

Номер уравнения

Число эндо­генных переменных в у равн ении, И

Число экзогенных пере­менных из общего их спи­ска, отсутствующих в уравнении,/)__

Сравнение параметров #и/)+/

о

2>0+1

1

2= 1+1

Решение об идентифи­кации уравнения

Неидентифицировано

Точно идентифицирова­но

3<3+1

С верх идентифицировано

Вся система уравнений в целом

Неидентифицирована

I. В том случае, когда хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Если подобный результат нас не устраивает, необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким обра-юм, чтобы идентификация была возможна.

4. Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отражённой в уравнении №1, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключена одна из экзогенных переменных. Скорее всего, ею может оказаться х3 - средне­годовая численность занятых в экономике региона, (млн. чел.), так как по своему экономи­ческому смыслу она менее тесно связана с инвестициями, чем инвестиции прошлого года (х^) и среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, (х>).

Во-вторых, возможна корректировка путём исключения из правой части уравнения эндо­генной переменной У2 - стоимость продукции промышленности и АПК в текущем году, млрд. руб. Но в этом случае, уравнение перестанет быть структурным, следовательно, изу­чить обратную связь Г/ и У2 будет невозможно. По этой причине подобная корректировка является нецелесообразной.

При корректировке рабочей гипотезы путём удаления х3 уравнение №1 становится точно идентифицированным, а вся система - сверхидентифицированной.

5. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) кос­венный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицирован-ных уравнений.

Задача №5.

По территориям Центрального федерального округа России имеются данные за 2000 год о следующих показателях: У1 - ваповой региональный продукт, млрд. руб. У 2 - розничный товарооборот, млрд. руб.

- основные фонды в экономике, млрд. руб.

х2 - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.

х3~ численность занятых в экономике, млн. чел.

х4 - среднедушевые расходы населения за месяц, тыс. руб.

Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку сле­дующих рабочих гипотез:

*2 =/(^1 »*1 >*з    )•

Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая систе­ма приведённых уравнений:

У, = -14,82 +0,053 **« +0,747**- + 0,023 *х, + 12,88* х,;К2 =0,863;^, .=15,7.

1 1 2 3 4'        '       фактический

2

| Щ -6,34 + 0,020 * хх + 0,069 * *2 + 0,011 * х^ + 8,29 * *4; Я 2 = 0,874; Р^

тактический      '

Задание:

1. Построить систему структурных уравнений и провести её идентификацию;

2. Проанализировать результаты решения приведённых уравнений;

3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитать параметры струк­турных уравнений (косвенный МНК); проанализировать результаты;

4. Указать, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных Ух и У2.

Решение.

1. Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:

У, = ах ~ * У~ + Ьл * * хл + Ь

42

11  Л1

'12

13

[У2 = а21 *У1 +Ь2\ Щ +Ь23 *х3 + Ь24 % 2. В соответствии со счётным правилом оба уравнения и система в целом являются точно идентифицированными и это означает, что они имеют единственное решение, которое мо-

3. Процедура КМНК состоит в том, чтобы путём преобразования результатов решения при­ведённых уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый приём подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том случае, если вы­полняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить перв^е структурное уравнение из первого приведённого необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак х4 выразить через У2, используя результаты второго приведённого уравнения. То есть:

У2 + 6,34 - 0,02дД 0,07 * *3 - 0,011 * *3

*4 =

8,29

46

После подстановки значения х4 в первое приведённое уравнение и преобразования подоб­ных членов, получаем следующий результат: 1 = -14,8 + 0,053*^ + 0,78 * л2 +0,023 *д;3+12,8

У2 +^34-0,02*^ -0,07**2 -0,011**^ 8,29

х2 =

| -4,95 + 1,55 * У2 + 0,023 * х{ + 0,67 * х2 + 0,006 * *3.

Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ пока­зывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товаро­оборота, стоимости основных фондов в экономике, от размера инвестиций в эконо­мику и от численности населения, занятого в экономике региона. Указанные перемен­ные объясняют 86,3% вариации результата, а характеристики установленной зави­симости являются статистически значимыми и надёжными, так как

ШШШШШШШ для Щ =4;Л/.2=15-4-1 = 10;а = 0,05. Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.

Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурно­го уравнения. Выразим отсутствующий в уравнении х2 через У/, используя результаты по­строения первого приведённого уравнения. То есть:

У{ + 14,82 - 0,053 * ^ - 0,023 * *3 - 12,88 * *4

0,747

После подстановкщЬначения х2 во второе приведённое уравнение и преобразования по­добных членов получаем следующий результат:

Щ +14,82-0,053*х1 -0,023**3 - 12,88**Л 0,747 ~)

= -4,97 + 0,092 * У{ + 0,015 * ^ + 0,0089 * *3 + 7,1 * *4.

Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимо­сти ВРП, основных фондов в экономике, от численности занятых в экономике и от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Данный перечень переменных объ­ясняет 87,4% вариации оборота розничной торговли, а соотношение ^фактич ~^'^> ^табл = ^Л% позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости. 4. Для выполнения прогнозных расчётов У] и У2 наиболее простым является вариант, по ко­торому прогнозные значения экзогенных переменных (x^^) подставляются в приведённые уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведён­ных моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных перемен­ных от их средних значений.

Задача №6.

Среднегодовая численность занятых в экономике Российской Федерации, млн. чел., за

У2 I -6,34 + 0,02 * х1 + 0,|

,069*

Задание:

1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -С^

2. Рассчитайте параметры параболы второго порядка : <2г - а0 + а} * (+ а2 * (2 линейной : 0( = а0 +ах *( и логарифмической функций : 0, = а0 + ах * 1п/

3. Оцените полученные результаты:

- с помощью показателей тесноты связи ( р и р2);

- значимость модели тренда (Т-критерий);

- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации ё', а также че­рез коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней прогноз до 2003 года.

5. Проанализируйте полученщре результаты.

Решение:

1. Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их факти­ческих значений. Для его построения введём дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через I и ус­ловно отождествим с течением времени. Для обозначения комплекса систематических факторов используются числа натурального ряда: 1, 2, 3, ...,п. См. табл. 1. В первую очередь выявим линейный тренд и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, рассмотренные нами в зад. 1. Получены значения определителей: А = 1210; Аа0 =91322; Да, =-1474. С их помощью получены следующие параметры линейного трен­да: а0 = 75,47 ; ах = -1,2182, уравнение имеет вид: (3, = 75,47 -1,2182 * /. Уравнение детер-

316

минирует 92,2% вариации численности занятых (гц1 = 1,2182 *      = 0,96;     = 0,922 ).

Таблица 1.

Средняя ошибка аппроксимации ё1 очень невелика (ё1 — 1,4%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач. Фактическое значение /^-критерия составило 108 и сравнение с 5,12 его табличного значе­ния позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда. Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреля­ции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактиче­ских уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений. Выполним расчёт в табл.2. Поместим во второй графе фактические отклонения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Г. В соседней графе поместим эти же отклоне­ния, но, сместив их относительно первой строки на один год вниз; обозначим их через 1 и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчита­ем по формуле:       I = с, *

Щ

Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии С/, который отражает силу связи отклонений */<2, и <М2хЛ. Получены следующие значения определителей:

Л = 10*8,6-(-2,2) * (-2,2) = 81,2   Дс, =10* 6,6 - (-1,0) * (-2,2) = 63,8 63 8

Отсюда с, = —— =0,786. При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

81,2

:Щ     ^,=0,7*6*^ = 0.643   ШИВ ^ =^:_1_,.5>бЗ 1к^|

В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений Г- критерия: = 5,63 > Р11иЛЯш =5,32. Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений не может быть принята, отклонения свя­заны между собой и не являются случайными величинами. То есть, линейный тренд не полностью исключил из фактических уровней влияние систематических факторов, формирующих основную тенденцию. Следует рассмотреть тренд иной формы.

2. Рассмотрим возможность использования для описания тренда равносторонней гипербо­лы: б, = я0 | «1 * - • В качестве аргумента в уравнении тренда здесь выступает 1. Выполним расчет параметров и оценим полученное уравнение. См. табл. 3.

Таблица 3

Определители составили: А = 8,019; Аа0 =517,2; Да, =107,03. По их значениям рассчитаны параметры и получено уравнение тренда: =64,5 + 13,35*-. Уравнение тренда выявля­ет тенденцию постепенного снижения и сохранения на неизменном уровне численно­сти   занятых.   Индекс   корреляции   оценивает   выявленную   связь   как   тесную:

=  1-

остаточная

\г\!ао ~ л/0,733 = 0,856 (см. гр. 7 и 8). Здесь изменения численности у    16,08

занятых на 73,3% определены изменениями систематических факторов, а на 26,7% - про- чими причинами. Ошибка аппроксимации очень невелика ё1 =2,7% (гр. 9) и поэтому воз­можности дальнейшего использования модели будут зависеть от оценки корреляции от­клонений.

Коэффициент корреляции отклонений (коэффициент автокорреляции) выявил их заметную связь (Р^е=0,593), которая является статистически незначимой: Рфакт. ~ 4,32 < Ртабл. 15,32, то есть нулевая гипотеза Я0 : р-а{ =0 может быть принята с 5%-ой вероятностью допустить ошибку. Таким образом, имеются веские основания для использования модели равносторонней гиперболы для выполнения прогнозных расчё­тов.

При выполнении прогнозов на 2001, 2002, 2003 и 2004 годы подставим в уравнение про­гнозные значения фактора, 7 - 12, 13, 14, 15, что позволяет получить результат на уровне 65,6 - 65,4 млн. чел.: Ст^п 165,6; 67=13 = 65,5; бг=н = 65,5; (?г=15 = 65,4. В данном прогно­зе реализуется гипотеза о стабилизации численности занятых и её" сохранении на уровне 65,4 млн. чел.

3. Рассмотрим возможность использования показательной кривой для описания тенденции и прогноза. Показательная форма тренда имеет вид <2( =а0 * а{ и предполагает выполнение процедуры линеаризации исходного уравнения с целью приведения его к линейному виду. \х\<21 =1па0 +**1па,. В расчёте параметров полученного линейного уравнения участвуют значения 1п{2, и I. Порядок расчёта представим в табл. 4. Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

А = п*^12 -5>*2> = 11*506-66*66 = 1210 Л 1п «о -X1п I * 111 ~ 10п <2 * 0 *Е (= 46,422 * 506 - 276,587 * 6615234,8 Л1гш, =и*Е0пе*0-5>е *2> = П* 276,587- 46,422 * 66 =-21,4 По ним рассчитаны параметры линеаризованной функции:

1па° "~ 1210 = 4,326; >пд1 = 1210 "~°'°177 и построено уравнение: 1п(), = 4,326-0,0177*г. Для получения уравнения в естественной форме выполним процедуру потенцирования ре­зультатов:       | е4'326-0'0177*' 175,6 * 0,9825'.

показательный трено установил, что численность занятых сокращается со средне­годовым темпом, равным 0,9825 или 98,3%. За период 1990-2001 гг. численность заня­тых ежегодно уменьшалась в среднем на 1,7%.

В данном случае, показатели тесноты изучаемой связи рассчитываются не как обычно - на фактических и расчётных значениях результата (<2факт и (2расч), а с использованием ли­неаризованных значений результата ^(2^^ и \ъ0,1расч, потому что именно для них вы­полняется требование МНК о наименьшей сумме квадратов отклонений. Расчёт выполнен в гр.8 и 9.       11|

Выявлена весьма тесная зависимость численности занятых от комплекса систематических

1 1,   ^ остаточная \пи      I   0,00025 1 ггтт-гг    ____

факторов: р1пд = 11--1-— = |1 —--= л/0,9258 = 0,962. Уравнение и его пара-

у &'общаяЫО. '      0,00337

метры статистически значимы и надёжны, т.к. Г факт-ШН что значительно превосходит ^^.=5,12 (при а\/ч=1; 0.^11-1-1^9; «=0,05).

Средняя ошибка аппроксимации в данной задаче рассчитывается как обычно, с использо­ванием <2факт и <2расч, т. к. при решении прогнозных задач производится оценка естест­венных, а не линеаризованных значений результата. Ошибка мала: гг/=1,3% и поэтому мо­дель может быть рекомендована для использования при прогнозировании. При этом, важ­но убедиться, что после выявления тренда формируются отклонения с1\п<2( = \п()фа1(т -\ъ<2расч , представляющие собой зн#*ения случайной переменной.

Для этого рассчитаем коэффициент автокорреляции отклонений: гЫ1пд(аУп<2  = с1 * </1п^-1 .

Расчёт выполняется по линеаризованным значениям результата, то есть, с использо­ванием с!ыв( = \пОфакт -\пОрасч и <Ппем.

Необходимая для расчёта информация представлена в табл. 5.

По аналогии с предыдущими расчётами определим коэффициент автокорреляции через определители второго порядка для двух рядов отклонений: с11п6, и 0\^(_х.

А = 10 * 0,00166 - (-0,032) * (-0,032) 10,0155852; Асх = 10 * 0,00129 - (-0,013) * (-0,032) 10,0125022;

^^^^к!I=ёшш=°'8о22;^,п^=од)1248; *<-*.=о'°1579; ^^Ш^

НИДВ    = 0,8022 * оЩё=0,6342; ИИ= °>4°23 | й§Ы

Таблица 5