Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача 1

Цех выпускает три вида обувных картонов. Производственные мощности цеха характеризуются следующими данными:

а)   суточный фонд рабочего времени оборудования – 780 ч;

б)   суточный расход сырья – 850 т;

в)   суточный расход электроэнергии -750 кВт/ч.

Нормы расхода производственных ресурсов на единицу различных видов картона представлены в таблице.

Прибыль от реализации 1т картона составляет: 1-го вида – 5руб., 2-го вида – 3,2руб., 3-го вида – 4,8руб.

Составить модель задачи плана производства продукции, обеспечивающего максимальную прибыль.

Решение

Переменные задачи

В задаче требуется установить, сколько картона каждого вида нужно произвести. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются объемы производства каждого вида картона:

 – объем производства 1-го вида картона, [т];

 – объем производства 2-го вида картона, [т];

 – объем производства 3-го вида картона, [т].

Целевая функция

В условии задачи сказано, использовать в качестве показателя эффективности прибыль, т.е. критерием эффективности служит параметр прибыли, который должен стремиться к максимуму.

Прибыль от реализации одной тонны картона 1-го вида составляет 5руб., от реализации картона 2-го вида 3,2руб. за тонну, а от реализации картона 3-го вида 4,8руб. за тонну (руб./т). Таким образом, прибыль от реализации объема картона 1-го вида равна руб., от продажи картона 2-го вида равна – руб. и от продажи картона 3-го вида равна – руб.

Запишем целевую функцию в виде суммы прибыли от реализации картона трех видов (при допущении независимости объемов сбыта каждого вида картона).

[руб.]

.

Ограничения

Возможные объемы производства картона всех видов ограничиваются следующими условиями:

      суточный фонд рабочего времени оборудования, не может превышать ресурса, которым располагает цех;

      суточный расход сырья, не может превышать запаса сырья выделенного цеху;

      суточный расход электроэнергии не может быть более определенного значения;

      объемы производства картона не могут быть отрицательными.

Таким образом, все ограничения задачи делятся на 2 группы, обусловленные:

1)     расходом ресурса;

2)     неотрицательностью объемов производства.

Ограничения по расходу любого из ресурсов имеют следующую содержательную форму записи:

.

Запишем эти ограничения в математической форме.

Левая часть ограничения – это формула расчета расхода конкретного ресурса на производство картона. Так из условия известен расход ресурса оборудования на производство картона 1-го вида: 3ч/т, картона 2-го вида: 5ч/т, и картона 3-го вида: 6ч/т. Тогда на производство тонн картона 1-го вида, тонн картона 2-го вида и тонн картона 3-го вида, потребуется  часов ресурса оборудования.

Правая часть ограничения – это объем ресурса, располагаемого цехом 780ч. Таким образом, ограничение по расходу ресурса оборудования имеет вид:

.

Аналогична математическая запись ограничения по расходу ресурса сырья:

,

и по расходу электроэнергии:

,

Неотрицательность объемов производства задается как:   .

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:

Решим задачу средством Excel: «Поиск решения».

Для получения наибольшей прибыли в 704,79 рублей при заданных условиях необходимо изготовить 31,071 тонну картона 1-го вида и 114,464 тонн картона 3-го вида. Картон 2-го вида производить не следует.

Задача 2

Рассчитать коэффициент парной корреляции между показателем сортности продукции и показателем коэффициента качества труда. Проверить значимость коэффициента корреляции по t-Стьюдента.

Решение.

Выборочный коэффициент парной корреляции находим по формуле:

,

где – выборочные средние значения показателя сортности продукции и показателя коэффициента качества труда.

              Для удобства вычислений составляем таблицу:

,

Выборочный коэффициент парной корреляции равен -0,3252.

Проверим, значимо ли коэффициент корреляции генеральной совокупности отличен от нуля. Выдвинем гипотезу о том, что при уровне значимости  коэффициент корреляции генеральной совокупности равен нулю , при конкурирующей гипотезе . Для проверки гипотезы необходимо вычислить: и если , то гипотеза принимается.

Находим по таблицам критическую точку распределения Стьюдента для двухсторонней критической области:

Так как нулевая гипотеза принимается, значит выборочный коэффициент корреляции незначимо отличен от нуля, т.е. показатели сортности продукции и коэффициента качества труда не коррелированны.

Задача 3

Дан сетевой график комплекса работ.

Используя данные этого графика, определить графическим методом ранние и поздние сроки завершения всех его событий, резерв времени событий, критический путь.

Решение

Первый способ.

Производим расчет временных параметров событий, которые вписываются непосредственно в вершины сетевого графика:

 – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

 – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

 – резерв события i, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

      для исходного события: ;

      для всех остальных событий i:, где максимум берется по всем работам , входящим в событие i;  – длительность работы (k,i).

Поздние сроки свершения событий рассчитываются от завершающего к исходному событию:

      для завершающего события: ;

      для всех остальных событий: , где минимум берется по всем работам , выходящим из события i;  – длительность работы (i,j).

Полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом.

Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. 

Полный путь – это путь от исходного до завершающего события.

Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы.

Необходимое условие критического пути: нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

Достаточное условие критического пути: нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути.

В результате вычислений  получаем сетевой график следующего вида:

Необходимому условию удовлетворяют полные пути:

1)     1, 3, 5, 6, 8, 9;

2)     1, 3, 5, 8, 9;

3)     1, 5, 6, 8, 9;

4)     1, 5, 8 ,9

Из данных путей достаточному условию удовлетворяет только путь 1, так как:

Критический путь: (1, 3, 5, 6, 8, 9).

Второй способ .

Производим расчет временных параметров событий, для чего строим линейный график (см. ниже) и определяем по нему требуемые параметры.

 – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

 – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

 – резерв события i, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Полный путь – это путь от исходного до завершающего события.

Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь.

Достаточное условие критического пути: нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути.

При определении ранних сроков наступления событий учитываем что событие i не может наступить ранее того как закончатся все работы (*, i).

При определении поздних сроков наступления события i учитываем что событие i не может наступить позднее того времени после которого остается ровно столько времени сколько необходимо для завершения всех следующих за этим событием работ (поиск ведем справа налево). Поэтому поздний срок наступления события 2 равен 8 так работу (2,4) можно сдвинуть на 2, а следующую за ней работу (4,6) на 5 при этом работа (2,4) начинается не раньше 1.

              При поиске критического пути определяем цепочку работ вплотную прилегающих друг к другу (поиск ведем справа налево).

Критический путь: (1, 3, 5, 6, 8, 9).

8