Контрольная работа по "Эконометрике"

 

ЗАДАЧА 1.2.

Решите следующую  задачу ЛП, связанную с распределением ресурсов, графическим способом:

F(X)= 2*xl +4*х2 —>mах (прибыль) при ограничениях

xl + 2*х2 ≤ 5 (ресурс 1)

xl + х2 ≤4 (ресурс 2)

xl ≥0

х2≥0.

а) определите статус каждого ресурса (дефицитный, недефицитный); 

б) определите максимальный интервал изменения запасов ресурса 1, в пределах которого текущее решение  остается допустимым; 

в) выполните  задание пункта б) применительно  к ресурсу 2;

г) для пунктов  б) и в) определите соответствующее  изменение оптимальных значений целевой функции;

д) определите максимальный интервал изменения удельной прибыли  для переменной xl, в пределах которого полученное решение остается оптимальным;

е) выполните  задание пункта д) применительно  к переменной х2 
 
 

Первое ограничение  xl + 2*х2 ≤ 5. Прямая xl + 2*х2 = 5 проходит через точки (5, 0) и (0, 2,5).

Решением   первого    неравенства   является нижняя полуплоскость.

Второе  ограничение xl + х2 ≤4. Прямая xl + х2 =4 проходит через точки (4, 0) и (0, 4). На рис. 1 заштрихована область допустимых решений.

Для определения  направления движения к оптимуму построим вектор-градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. 

V = (2;4).

Что бы построить  этот вектор, нужно соединить точку (2;4) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента.

Как видно, на линий  верхней поверхности выделенной области, т.е. при любом значении х1 от 0 до 3. Рассмотрим точку преломления  поверхности, т.е. в которой пересекаются ограничивающие прямые. Для этого  необходимо решить систему: 

х2 + 2*х2 =5

xl + х2 =4  

Решением системы  будут значения

х1=3

х2=1 

Тогда, F(3;1)= 2*3 +4*1=10 
 

Оба ресурса  являются дефицитными, поскольку ограничены знаком ≤. 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Для ответа на другие вопросы данного задания воспользуемся  расчетом в среде MS Excel: 
 

В нашей задаче оптимальные значения вектора  X =(X1, Х2) будут помещены в ячейках А2:В2, оптимальное значение целевой функции в ячейке СЗ.

Вводим  исходные данные. 
 

 

Вводим  зависимость для  целевой функции 

•Курсор в ячейку «СЗ».

•Курсор на кнопку «Мастер функций», расположенную на панели инструментов.

На экране появляется диалоговое окно «Мастер функций шаг 1 из 2»

• Курсор в окно «Категория» на категорию «Математические».
• Курсор в окно «Функции» на «СУММПРОИЗВ» На экране появляется диалоговое окно «СУММПРОИЗВ»
• В строку «Массив 1» ввести А2:В2
• В строку «Массив 2» ввести АЗ:ВЗ.

Массив 1 будет  использоваться при вводе зависимостей для ограничений, поэтому на этот массив надо сделать абсолютную ссылку.

На экране: в ячейку СЗ введена функция (рис. 1.9.).

Вводим  зависимости для  ограничений.

• Курсор в ячейку «СЗ».
• На панели инструментов кнопка «Копировать в буфер».
• Курсор в ячейку «С4».
• На панели инструментов кнопка «Вставить из буфера».
• Курсор в ячейку «С5».
• На панели инструментов кнопка «Вставить из буфера».

    В строке «Меню» указатель мышки на имя «Сервис». В развернутом меню команда «Поиск решения». Появляется диалоговое окно «Поиск решения» (рис. 1.12.).

• Курсор в строку «Установить целевую ячейку».
• Вводим адрес ячейки «$С$3».
• Вводим направление целевой функции в зависимости от условия вашей задачи: «Максимальному значению».
• Курсор в строку «Изменяя ячейки».

 Вводим  ограничения

• Указатель мышки на кнопку «Добавить. Появляется диалоговое окно «Добавление ограничения»
• В строке «Ссылка на ячейку» введите адрес $С$4.
• Вводим знак ограничения ≤.
• В строке «Ограничение» введите адрес $D$4.
• Указатель мышки на кнопку «Добавить». На экране вновь диалоговое окно «Добавление ограничения».

• Вводим остальные ограничения задачи, по выше описанному алгоритму

• После введения последнего ограничения кнопка «ОК».

    На  экране появится диалоговое окно «Поиск решения» с введенными условиями  

      

  

• В параметрах устанавливаем флажки в окнах  «Линейная модель» (это обеспечит применение симплекс - метода) и «Неотрицательные значения».
• Указатель мышки на кнопку «ОК». На экране диалоговое окно «Поиск решения».
• Указатель мышки на кнопку «Выполнить».

  Через непродолжительное время появится диалоговое окно

Указываем тип  отчета «Устойчивость», чтобы можно  получить дополнительную информацию об оптимальном решении и ответить на вопросы б), в), г), д), е).

Получим следующую  таблицу: 

 

     Как видно, допустимое увеличение ресурсу 1 0, т.е. отсутствует, а допустимое уменьшение практически не ограничено. По ресурсу 2 наоборот, допустимое уменьшение 0, т.е. отсутствует, а допустимое увеличение практически не ограничено

     По  анализу ограничений допустимое увеличение по первому ограничению 3, а уменьшение 5. По второму ограничению  допустимое увеличение не ограничено, а уменьшение не более 1,5. 
 
 

     ЗАДАЧА 2.2.

     В таблице 2.7 даны коэффициенты прямых затрат а_ij и конечный продукт У_i

     Требуется определить:

     1. межотраслевые поставки продукции;

     2. проверить продуктивность матрицы А.

     3. заполнить схему межотраслевого баланса. 

           

     Для решения задачи воспользуемся функциями  Excel 

 

В таблице  приведены результаты решения задачи по первым трем пунктам.

1. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат   В=(Е — А) ¹.

 

Для вычисления обратной матрицы необходимо:

• выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы;
• выбрать функцию МОБР в категории математические;
• ввести диапазон ячеек, где содержится матрица Е-А
• нажать клавиши CTRL+SHIFT+ ENTER

 

В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы Е-А. Массив Е-А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В = (Е - А)"¹ и введем формулу для вычислений MOBP(B6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. 

Все элементы матрицы  коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

2. Вычислим вектор валового выпуска X по формуле X=BY.

 

Для умножения  матриц необходимо:

• выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц;
• выбрать функцию МУМНОЖ в категории математические;
• ввести диапазоны ячеек, где содержатся матрицы В и Y
• нажать клавиши CTRL+SHIFT+ETER

3. Межотраслевые поставки х_ij вычисляем по формуле х _ij = а_ij *Xj.

Заполняем схему  МОБ.