Контрольная работа по "Эконометрика"

     По, данным, представленным ниже в таблице, изучается зависимость индекса  человеческого развития У от переменных:

     Х2 – расходы на конечное потребление  в текущих ценах, % к ВВП;

     Х4 – валовое накопление, % к ВВП.

      

     Задача 1. С помощью метода наименьших квадратов на основании данных таблицы построить линейную модель зависимости приведенных переменных. В одной системе координат изобразить статистические данные и график найденной зависимости. Оценить значимость модели в целом и значимость параметров модели.

      Решение: линейное уравнение имеет вид:  у = а + b*x

Параметры уравнения прямой вычислим по формулам:

            b = (xy_cp – x_cp*y_cp): (x² _cp – (x_cp)²)

            a = y_cp – b* x_cp

Тогда  b = (65,0167 – 77*0,8412): (5976,807-77²) = 0,005

            a = 0,8412 – 0,005*77 = 0,456 
 

Выборочное  уравнение регрессии имеет вид  ур = 0,456 + 0,005*х

 

         

Таким образом, связь между У и Х средняя прямая. С увеличением расходов на конечное потребление на 1% от ВВП, индекс человеческого развития увеличивается на 0,005 пункта.

        Коэффициент детерминации равен  D= r² = 0,318² = 0,1013

10,13% изменений результативного признака вызваны изменениями факторного признака х.

     Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитаем -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии. 

     

     Тогда t-значения критерия Стьюдента составят:

     

     Критическое значение критерия Стьюдента при  уровне значимости α=0,05  числе степеней свободы k=13   равно tкр=2,1604. Таким образом, коэффициенты регрессии статистически не значимы, так  как фактические значения критериев меньше табличного значения. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

                      F = r²* (n-2): (1 –r²) = 0,1013*13: 0,8987= 1,465

Fтабл. при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 13 равно 4,67 . Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически не значимо, т.к.

                                         F < Fтабл.

      Построим  графики статистических данных и  уравнения регрессии. 
 
 
 
 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 2. С помощью метода наименьших квадратов на основании данных таблицы построить линейную модель зависимости ряда переменных. Оценить значимость модели в целом. Сделать вывод о том, какая из независимых переменных имеет большее влияние на зависимую переменную.

      Решение:   Расчет показателей связи проведем по формулам:

        

     Составим  вспомогательную таблицу.

 

      Подставив в данную систему нормальных уравнений  рассчитанные показатели получим:   

     

     Решая данную систему получим:

     а₀ =1,240            а₁ =-0,002             а₂ =-0,011

     Уравнение регрессии имеет вид

     У = 1,240 – 0,002х1 – 0,011х2

     Таким образом, при увеличении расходов на конечное потребление на 1%, индекс человеческого развития сокращается на 0,002, а при увеличении валового накопления на 1% индекс человеческого развития сокращается на 0,011 пункта.

     Оценим  значимость полученной модели.

      Расчет  коэффициентов корреляции и детерминации

        R = √ (r²_yx1  + r²_yx2  - 2 r_yx1  r_yx2   r_x1x2): (1 - r²_x1x2)

        r_yx = ( xy_ср – x_ср * y_ср): (σ_x * σ_y )

      ху_ср = ∑х*у : n                    x_ср = ∑x : n                               y_ср = ∑y : n

      σ = √ х²_ср - (х_ср)²

      r_yx1 = (65,017 – 77*0,841): (6,914*0,111) = - 0,319

      σ_x1 =     

      σ_x2 =

      σ_y =

      r_yx2 = (18, 529 – 22,44*0,841):( 6,045*0,111) =- 0,518

      r_x1x2  = (1697,581 - 77*22,44): (6,914*6,045) = - 0,725

      R = √ (0,102+ 0,268 - 2*0,319*0,518*0,725): (1 – 0,526) = 0,524

      D = 0,524² * 100% = 27,4%

           Определим значение F – критерия Фишера.

                  F = (R² *(n-m)) : [(1- R²) (m-1)]

                 F = (0,274*(15-2)): [(1 – 0,274)*(2-1)] = 4,906

      F табличное равно 4,67 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы ν₁ = n –m = 15-2 = 13    и    ν₂ = m-1=2-1=1

      Так как Fф > Fт , то значение коэффициента корреляции следует признать  достоверным, а уравнение регрессии статистически  значимым.

      Коэффициенты  эластичности показывают на сколько  процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении факторного на 1% при фиксированном значении других факторов.

                 Э1 = а1 *хср1: уср = -0,0019* 77: 0,8412 = -0,174%

                 Э2 = а2* хср2: уср = -0,011*22,44: 0,8412 = -0,293%

      Следовательно, при изменении на 1% расходов на конечное потребление на 1% индекс человеческого развития сокращается на 0,174%, а при увеличении валового накопления  на 1% индекс человеческого развития сократится на 0,293%.

      При помощи бета-коэффициентов дается оценка различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Они показывают на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится результативный признак с изменением соответствующего факторного на величину своего среднего квадратического отклонения.

             β1 = а1*σх1 : σу = -0,0019*6,914: 0,111 =  -0,118

             β2 = а2* σх2 : σу = -0,011*6,045 : 0,111 = -0,599

      Таким образом, наибольшее влияние на индекс человеческого развития с учетом вариации способен оказать второй фактор (валовое накопление), т.к. ему соответствует наибольшая абсолютная величина бета-коэффициента.

      Коэффициенты  отдельного определения используются для определения в суммарном  влиянии факторов доли каждого из них:

               D1 = β1*r_yx1  : R² = 0,118*0,319: 0,524= 0,072

        D2 = β2*r_yx2 :  R² = 0,599*0,518: 0,524= 0,928

      Следовательно, на долю влияния первого фактора приходится 7,2%, а на долю второго – 92,8%. 
 
 
 
 

                                           Список литературы 

1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ. 1998.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика. 1999.
3. Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика. 2002.
4. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. – М.: Дело. 1998.