Контрольная работа по "Эконометрии"

Задача  №1.

     По  территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

 

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите  территории по возрастанию фактора  X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте  поле корреляции и сформулируйте  гипотезу о возможной форме  и направлении связи.

3. Рассчитайте  параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените  тесноту связи с помощью показателей  корреляции  (r_yx  и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.

1. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
2. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По  лучшему уравнению регрессии  рассчитайте теоретические значения  результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте  прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте  интегральную и предельную ошибки  прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза. 

Решение: 

   

1. Построим  график: расположим территории по возрастанию  значений фактора X_i . См. таблицу 2. Если график строится в табличном процессоре ЕХСЕL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи инвестиций (Y) с основными фондами (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

 

2. Как правило, моделирование начинается с построения уравнения прямой:

Y = а₀ +а₁*Х, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Рассчитаем неизвестные параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК), построим систему нормальных уравнений и решим её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ∆, ∆а₀ и ∆а₁. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

См. таблицу  З. 

Расчётная таблица № 3

 

4. Согласно  данной формуле выполним расчёт определителя системы:

∆ = n * ∑(X²) - ∑Х * ∑Х = 12*318732,7 – 1433,2*1433,2 = 1770729,68;

Расчёт  определителя свободного члена уравнения  выполним по формуле:

∆а₀ = ∑Y * ∑(X²) - ∑(Y*X) * ∑Х = 204,01*318732,7 – 49450,6*1433,2 = – 5847904,09.

Расчёт  определителя коэффициента регрессии  выполним по формуле:

∆а₁ =n * ∑(Y*X) - ∑Y * ∑Х = 12*49450,6 – 204,01*1433,2 = 301019,68.

5. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

а₀ = ∆а₀ /∆ = – 5847904,09/1770729,68 = – 3,3;

а₁ = ∆а₁ /∆ = 301019,68/1770729,68 = 0,17.

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение  регрессии следующего вида:    Ŷ_х= – 3,3 + 0,17 * X

    В уравнении коэффициент регрессии  а₁ = 0,17 означает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1 % (от своей средней) оборот розничной торговли возрастет на 0,17 млрд. руб. (от своей средней).

    Свободный член уравнения а₀ = - 3,3 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на оборот розничной торговли.

6. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                Э_YX = f ' (X) * X/Y

В нашем  случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Э_YX = а₁ * X/Y = 0,17 * 119,43/17,0008 = 1,194

    Это означает, что при изменении общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличиваются на 1,194 процента от своей средней.

7. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_YX = а₁ * σ_X/σ_Y = 0,17 * 110,89/19,89 = 0,948         r_YX ² = 0,899.

    Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборотом розничной торговли. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 89,9% из 100% предопределена вариацией общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости); роль прочих факторов, влияющих на оборот розничной торговли, определяется в 10,1%, что является сравнительно небольшой величиной.